Rozwinięcie Laplace’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Rozwinięcie Laplace'a)
Skocz do: nawigacja, szukaj

Rozwinięcie Laplace’a – wzór rekurencyjny określający wyznacznik -tego stopnia macierzy kwadratowej o wymiarach . Nazwa wzoru pochodzi od francuskiego matematyka Laplace’a

Wyznacznik macierzy znajduje się z następującego wzoru:

gdzie:

jest ustalone i określa wiersz macierzy, względem którego następuje rozwinięcie
jest elementem macierzy w -tym wierszu i -tej kolumnie
jest dopełnieniem algebraicznym elementu

Prawa strona powyższego wzoru nazywana jest rozwinięciem względem -tego wiersza. Wartość powyższej sumy nie zależy od wyboru wskaźnika wiersza i. Można analogicznie sformułować wyznacznik poprzez rozwinięcie względem -tej kolumny.

Twierdzenie Laplace’a pozwala obliczyć wyznacznik macierzy bez korzystania z bardzo czasochłonnej metody opartej na definicji wyznacznika.

Przykład[edytuj]

Przy obliczaniu wyznacznika korzystamy z twierdzenia Laplace’a tak długo, aż uzyskamy macierze, których wyznaczniki można obliczyć wprost (drugiego, trzeciego stopnia). Dobrze jest przy tym skorzystać z faktu, iż dodanie lub odjęcie od dowolnego wiersza/kolumny innego wiersza/kolumny lub kombinacji liniowej tychże nie zmienia wartości wyznacznika i tym sposobem wyzerować jak najwięcej elementów pewnego wiersza/kolumny.

Obliczmy wyznacznik następującej macierzy czwartego stopnia:

Wygenerujmy jak najwięcej zer w ostatnim wierszu (z wyjątkiem np. ostatniego wyrazu): dodajmy czwartą kolumnę do pierwszej oraz trzeciej, zaś odejmijmy ją od drugiej:

Redukujemy w ten sposób wyznacznik macierzy czwartego stopnia do iloczynu skalara, oraz wyznacznika macierzy trzeciego stopnia. Stosując rozwinięcie Laplace’a względem czwartego wiersza (pamiętać należy o znakach wyliczanych minorów) dostaniemy:

Zredukujmy raz jeszcze współczynniki macierzy kolumnowo – odejmijmy pierwszą od ostatniej, następnie trzecią dodajmy do drugiej:

.

Ponownie korzystamy z rozwinięcia Laplace’a, tym razem względem drugiej kolumny:

.

Z kolei zredukujemy współczynniki w ostatnim wierszu, odejmując pierwszy wiersz od drugiego:

.

i po raz ostatni korzystamy z twierdzenia, tym razem rozwijając względem drugiego wiersza:

.

Zobacz też[edytuj]