Trójkąt

Trójkąt

Liczba boków	3
Liczba przekątnych	0
Symbol Schläfliego	{3} (trójkąt równoboczny)
Kąt wewnętrzny	60° (trójkąt równoboczny)

Trójkąt – rodzaj figury geometrycznej definiowany dwojako:

• zbiór punktów ograniczony łamaną zamkniętą złożoną z trzech odcinków;
• najmniejsza w sensie inkluzji figura, która jednocześnie:
  • zawiera trzy niewspółliniowe punkty;
  • jest wypukła i domknięta.

Krócej: trójkąt to otoczka wypukła wspomnianych trzech punktów.

Obie definicje da się wyrazić krócej, choć mniej bezpośrednio: trójkąt to wielokąt o trzech bokach. Na temat trójkątów udowodniono co najmniej dziesiątki twierdzeń. Istnieje cały dział matematyki oparty na badaniach trójkątów: trygonometria.

Podstawowe informacje

Główne definicje

Z każdym trójkątem jest związanych kilka podstawowych pojęć:

• bok trójkąta to każdy z odcinków tworzących tę łamaną;
• wierzchołek trójkąta to dowolny punkt wspólny sąsiednich boków;
• podstawa trójkąta to dowolny ustalony bok;
• ramiona to pozostałe dwa boki.

Inne pojęcia związane z trójkątem opisano w odpowiedniej sekcji.

Ogólne własności

Wizualizacja nierówności trójkąta: $b+a>c$

• Każdy trójkąt jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje wierzchołki.

• Jeśli długości boków trójkąta wynoszą $a,$ $b$ i $c,$ to zachodzą poniższe nierówności:

$a<b+c,$

$b<c+a,$

$c<a+b.$

Każda z nich jest znana jako nierówność trójkąta. Trójkąt o bokach, których długości wynoszą $a,$ $b$ i $c$ istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są te trzy nierówności. Można je zapisać w równoważnej postaci:

$|b-c|<a<b+c.$

• W standardowej geometrii, zwanej euklidesową, suma miar kątów między bokami wynosi 180°. Istnieją też geometrie nieeuklidesowe, w których jest inaczej – opisuje to odpowiednia sekcja.

Główne rodzaje

A, B, C – wierzchołki;
a, b, c – długości boków;
∡CAB, ∡ABC, ∡ACB — kąty;
α, β, γ – miary kątów

Trójkąty można dzielić ze względu na długości ich boków oraz ze względu na miary ich kątów.

Przy podziale ze względu na boki wyróżnia się:

• trójkąt różnoboczny ma każdy bok innej długości;
• trójkąt równoramienny ma dwa boki (ramiona) tej samej długości;
• trójkąt równoboczny ma wszystkie trzy boki tej samej długości; wszystkie jego kąty są tej samej miary.

równoboczny	równoramienny	różnoboczny

Przy podziale ze względu na kąty wyróżnia się:

• trójkąt ostrokątny, którego wszystkie kąty wewnętrzne są ostre;
• trójkąt prostokątny to taki, w którym jeden z kątów wewnętrznych jest prosty (a więc pozostałe sumują się do kąta prostego); boki tworzące kąt prosty nazywa się przyprostokątnymi, pozostały bok nosi nazwę przeciwprostokątnej; przeciwprostokątna zawsze jest dłuższa od każdej przyprostokątnej;
• trójkąt rozwartokątny, którego jeden kąt wewnętrzny jest rozwarty.

ostrokątny	prostokątny	rozwartokątny

Trójkąty można dzielić również ze względu na inne relacje równoważności, np. podobieństwo, przystawanie.

Powiązane figury

Podstawowe linie

Dla każdego trójkąta istnieje kilka linii definiowanych wprost samymi bokami lub bokami i wierzchołkami.

• Każdy bok – jak każdy odcinek – ma symetralną. To prosta prostopadła do tego boku i przechodząca przez jego środek. Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków, przecinające się w punkcie będącym środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.
• Każda para boków trójkąta ze sobą sąsiaduje, czyli tworzy kąt płaski. Każdy kąt płaski ma dwusieczną, a te nazywa się dwusiecznymi trójkąta. Służą m.in. do konstrukcji okręgu wpisanego w ten trójkąt.
• Środki boków można połączyć odcinkiem znanym jako linia środkowa; nie mylić ze środkową opisaną niżej.

Odcinki definiowane wierzchołkiem i przeciwległym bokiem to między innymi:

• wysokość trójkąta – odcinek łączący wierzchołek z prostą zawierającą przeciwległy bok i który jest prostopadły do tej prostej. Każdy trójkąt ma trzy wysokości. Wysokością nazywa się również długość tego odcinka. Z wysokościami są związane pewne punkty opisane niżej.
• środkowa trójkąta – odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe.

Dwa ostatnie rodzaje linii to przykłady szerszego pojęcia – czewiany.

Podstawowe punkty

• Punkt wspólny wysokości i boku trójkąta (lub jego przedłużenia) nazywa się spodkiem tej wysokości.
• Wysokości trójkąta (lub ich przedłużenia) przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy ortocentrum.
• Środkowe przecinają się w jednym punkcie, nazywanym środkiem masy trójkąta, inaczej jego barycentrum lub – co może być mylące – środkiem ciężkości.

 

Symetralne i okrąg opisany

Dwusieczne i okrąg wpisany

Wysokości i ortocentrum

Środkowe i barycentrum

Wybrane inne linie

Prosta Eulera (czerwona) oraz symetralne (zielone), środkowe (pomarańczowe) i wysokości (niebieskie) w trójkącie

Pojęcia wspomniane wyżej prowadzą do innych linii jak:

• części odcinka wyznaczone przez pewien punkt na nim;
• prosta wyznaczona przez co najmniej dwa różne punkty;
• okrąg wyznaczony przez co najmniej trzy punkty parami różne;
• wynik (obraz) odpowiedniego przekształcenia geometrycznego innej linii.

Przykładowo:

• środek masy (barycentrum) – oznaczany tu przez $M$ – dzieli każdą ze środkowych na dwie części. Odcinek łączący barycentrum z wierzchołkiem jest dwa razy dłuższy od odcinka łączącego barycentrum ze środkiem boku;
• jeśli trójkąt nie jest równoboczny, to istnieje dokładnie jedna prosta łącząca trzy punkty:
  • środek okręgu opisanego $C;$
  • ortocentrum $H;$
  • barycentrum $M.$

Ta prosta jest nazywana prostą Eulera, a ponadto $|MH|=2|MC|$;

• wspomniane wyżej środki boków oraz spodki wysokości leżą na jednym okręgu. Jest nazywany okręgiem Eulera, okręgiem Feuerbacha lub okręgiem dziewięciu punktów, ponieważ leżą na nim też trzy inne punkty o względnie prostej definicji;
• symediana jest odbiciem środkowej w dwusiecznej wychodzącej z tego samego wierzchołka trójkąta.

Wybrane inne punkty

• Punkt Nagela to punkt, w którym przecinają się proste łączące wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków z odpowiednimi okręgami dopisanymi.
• Punkt Gergonne'a to punkt przecięcia prostych łączących wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków do okręgu wpisanego w trójkąt.
• Punkty Brocarda – w trójkącie ABC o bokach a, b, c znajduje się dokładnie jeden taki punkt P, że proste AP, BP, CP z bokami odpowiednio c, a, b tworzą równe kąty.
• Punkt Fermata – punkt, którego suma odległości od wierzchołków trójkąta jest najmniejsza z możliwych.

Pole powierzchni

Jeden ze wzorów na pole trójkąta da się uzasadnić, rozważając kopię tego trójkąta

Dla dowolnego trójkąta pole powierzchni da się obliczyć na kilka sposobów. Poniżej podano wzory syntetyczne, czyli nieodwołujące się do żadnych współrzędnych. Ta druga grupa wzorów jest podana w odpowiedniej sekcji.

Oznaczenia

$S$ – pole powierzchni;

$a,\ b,\ c$ – długości boków;

$h_{a},\ h_{b},\ h_{c}$ – wysokości opuszczone na boki odpowiednio $a,\ b,\ c;$

$\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ – kąty leżące naprzeciw boków odpowiednio $a,\ b,\ c;$

$R$ – promień okręgu opisanego;

$r$ – promień okręgu wpisanego;

$p$ – połowa obwodu:

$p:={\frac {a+b+c}{2}}.$

Wzory syntetyczne

${\begin{aligned}S&={\tfrac {1}{2}}{ah_{a}}={\tfrac {1}{2}}{bh_{b}}={\tfrac {1}{2}}{ch_{c}}=\\&=pr={\frac {abc}{4R}}=\\&={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}=\\&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {\left((a+b)^{2}-c^{2}\right)\left(c^{2}-(a-b)^{2}\right)}}.\end{aligned}}$

Przedostatni wzór jest znany jako wzór Herona i ma też inne warianty, opisane w osobnym artykule. Z powyższych wzorów da się wyprowadzić inne, zawierające funkcje trygonometryczne:

${\begin{aligned}S&={\tfrac {1}{2}}{ab\sin \gamma }={\tfrac {1}{2}}{bc\sin \alpha }={\tfrac {1}{2}}{ca\sin \beta }=\\&=2R^{2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma =\\&={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin \alpha }}.\end{aligned}}$

Opis analityczny

Przykładowy trójkąt równoboczny na płaszczyźnie kartezjańskiej. Na czerwono zaznaczono jego środek masy (barycentrum)

Dowolny trójkąt da się opisać we współrzędnych kartezjańskich, a taki opis figur to dział geometrii analitycznej. Poniżej przyjęto oznaczenia:

$A=(x_{A},y_{A}),$

$B=(x_{B},y_{B}),$

$C=(x_{C},y_{C}).$

• Środek masy (barycentrum) można znaleźć przez średnią arytmetyczną współrzędnych wierzchołków:

$M=\left({\frac {x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}},\ {\frac {y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}}\right).$

• Pole powierzchni da się obliczyć za pomocą wyznaczników lub iloczynu wektorowego:

${\begin{aligned}S&=\left|{\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\\x_{C}&y_{C}&1\end{vmatrix}}\right|=\\&={\tfrac {1}{2}}\left|\det {\begin{bmatrix}x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\\x_{C}&y_{C}&1\end{bmatrix}}\right|=\\&={\tfrac {1}{2}}|x_{A}y_{B}+x_{B}y_{C}+x_{C}y_{A}-x_{C}y_{B}-x_{A}y_{C}-x_{B}y_{A}|=\\&={\tfrac {1}{2}}\left|\det {\begin{bmatrix}x_{B}-x_{A}&y_{B}-y_{A}\\x_{C}-x_{A}&y_{C}-y_{A}\end{bmatrix}}\right|=\\&={\tfrac {1}{2}}\left|{\vec {AB}}\times {\vec {AC}}\right|.\end{aligned}}$

Geometrie nieeuklidesowe

Przykładowy trójkąt sferyczny – suma miar kątów takich figur może przekraczać 180°

Na płaszczyźnie euklidesowej suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa kątowi półpełnemu, czyli $180^{\circ }=\pi$ radianów. Dowód tej własności opiera się na piątym aksjomacie Euklidesa, który wyróżnia geometrię euklidesową spośród innych geometrii.

W geometriach innych niż euklidesowa suma kątów wewnętrznych nie musi wynosić 180°. Na przykład osoba, która pójdzie z bieguna północnego 10 tys. km na południe, 10 tys. km na zachód, a potem 10 tys. km na północ znajdzie się z powrotem na biegunie, choć dwukrotnie skręciła o 90°, więc trójkąt przez nią zakreślony ma sumę kątów większą niż 180°, a dokładnie 270°. Dzieje się tak, gdyż na sferze (dobre przybliżenie powierzchni geoidy) obowiązuje geometria eliptyczna, a nie euklidesowa.

Zobacz też

• sympleks
• trójkąt Penrose’a
• trójkąt wymierny

Bibliografia

• Matematyka, Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990 (Encyklopedia szkolna), ISBN 83-02-02551-8 .

Linki zewnętrzne

• JoannaJ. Jaszuńska JoannaJ., P = 1/2 ah, „Delta”, październik 2011, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-01] .
• PiotrP. Pikul PiotrP., Jak wyznaczyć najbardziej dowolny trójkąt?, „Delta”, czerwiec 2021, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-02] .
• Geometria – trójkąty, Khan Academy, kanał „KhanAcademyPoPolsku” na YouTube [dostęp 2025-10-28].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Triangle, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-06-01].