Ruch obrotowy

Przekładnia ślimakowa jako przykład ruchu obrotowego względem stałej osi obrotu

Ruch obrotowy wokół ustalonej osi – szczególny przypadek ruchu obrotowego, rozważany w nauczaniu fizyki. Ograniczenie zagadnienia do stałej osi obrotu wyklucza możliwość opisania takich zjawisk, jak chwianie się lub precesja.

W ruchu obrotowym wokół ustalonej osi, wszystkie punkty bryły poruszają się po okręgach o środkach leżących na jednej prostej zwanej osią obrotu, a okręgi te leżą w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu. Rozważa się obrót punktu materialnego oraz bryły sztywnej wokół ustalonej osi obrotu. Ograniczenie to umożliwia przyjęcie pojęć i sformułowania praw rządzących tym ruchem będących odpowiednikami praw ruchów liniowych. Opis ruchu wokół nieustalonych osi obrotu jest bardziej skomplikowany.

Ruch bryły wokół ustalonej osi obrotu często występuje w technice, wiele ruchów można opisać jako złożenie ruchu postępowego i obrotowego względem osi o ustalonym kierunku.

Ruch obrotowy punktu, prędkość kątowa

Kinematyka

Wybierając do opisu ruchu układ współrzędnych walcowych o osi będącej osią obrotu, jedyną zmieniającą się współrzędną jest kąt o jaki obraca się opisywane ciało. Przez co ruch obrotowy o ustalonej osi obrotu punktu materialnego i bryły sztywnej jest matematycznym odpowiednikiem ruchu postępowego po linii prostej.

Zmiany kąta w czasie opisuje prędkość kątowa określona jako:

$\omega ={\frac {d\theta }{dt}}.$

Zmiany prędkości kątowej opisuje przyspieszenie kątowe:

$\varepsilon ={\frac {d\omega }{dt}}={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}},$

gdzie:

$\varepsilon$ – przyspieszenie kątowe,

$\omega$ – prędkość kątowa,

$\theta$ – kąt.

Związek między prędkością liniową w prędkością kątową

$v=\omega l$

lub

$v={\frac {d\theta }{dt}}l$

gdzie: $v$ – prędkość liniowa w ruchu po okręgu o promieniu $l$.

Energia kinetyczna ruchu obrotowego

(1) Energia kinetyczna ciała punktowego, poruszającego się po okręgu o promieniu $l$:

$E_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}ml^{2}\omega ^{2}$

gdyż:

$E_{\text{rot}}={\frac {mv^{2}}{2}}={\frac {m(\omega l)^{2}}{2}}={\frac {1}{2}}ml^{2}\omega ^{2}$

(2) Energia kinetyczna $E_{\text{rot}}$ bryły sztywnej składającej się z ciał punktowych jest sumą energii kinetycznej tych ciał i jest dana wzorem

$E_{\text{rot}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}m_{i}l_{i}^{2}\omega ^{2}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$,

gdzie $I=\sum _{i=1}^{n}m_{i}l_{i}^{2}$ - moment bezwładności ciała.

Dynamika

Podstawowym prawem opisującym ruch bryły sztywnej jest druga zasada dynamiki ruchu obrotowego:

${\vec {M}}={\frac {\vec {dL}}{dt}},$

gdzie:

${\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}},$

gdzie $M$ jest momentem siły względem obranego punktu odniesienia, a $L$ – krętem (momentem pędu) względem tego samego punktu odniesienia.

Jeżeli obrót odbywa się względem osi stałej lub sztywnej wówczas druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego może być napisana w następujący sposób:

${\vec {M}}=I{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}=I{\vec {\varepsilon }},$

gdzie $M$ oznacza moment siły a $I$ moment bezwładności względem osi obrotu.

Gdy brak momentu sił zewnętrznych $(M=0),$ z pierwszego wzoru można otrzymać równanie ilustrujące zasadę zachowania momentu pędu

${\frac {\vec {dL}}{dt}}=0,$

${\vec {L}}=\operatorname {const} .$

Gdy oś obrotu jest ustalona, brak momentu sił oznacza stałość prędkości kątowej, ponieważ

$L=I{\vec {\omega }}=\operatorname {const} ,$

co przy stałości $I$ oznacza

${\vec {\omega }}=\operatorname {const} .$

Ruch taki nazywany jest jednostajnym ruchem obrotowym.

Zobacz też

• druga zasada dynamiki ruchu obrotowego
• prędkość obrotowa
• ruch harmoniczny
• ruch postępowy
• ruch posuwisto-zwrotny

Bibliografia

• Robert Resnick, David Halliday: Podstawy fizyki. Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999. ISBN 83-01-09323-4.