Twierdzenie Lagrange’a (rachunek różniczkowy)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy rachunku różniczkowego. Zobacz też: inne twierdzenia Lagrange’a.

Twierdzenie Lagrange’a – jedno z kilku twierdzeń o wartości średniej w rachunku różniczkowym.

Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Josepha Louisa Lagrange'a.

Twierdzenie Lagrange’a[edytuj]

Jeśli dana funkcja jest

to istnieje taki punkt , że:

.

Twierdzenie nie zachodzi w przypadku wielowymiarowym.

Interpretacja geometryczna[edytuj]

Geometrycznie twierdzenie Lagrange’a oznacza, że na łuku będącym wykresem funkcji od punktu do punktu , istnieje taki punkt, w którym styczna jest równoległa do siecznej poprowadzonej między punktami i .

Twierdzenie Lagrangea.svg

Na rysunku współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie wynosi . Na mocy twierdzenia Lagrange’a jest on równy:

.

Wartość średnia[edytuj]

Twierdzenie Lagrange’a zapisane w postaci

mówi, że przyrost wartości funkcji dla argumentów i wyraża się przez przyrost wartości zmiennej (argumentów) i pochodną funkcji w pewnym punkcie pośrednim między i – stąd właśnie nazwa twierdzenia.

Dowód[edytuj]

Kładziemy:

Mamy wtedy:

oraz

A więc:

, czyli funkcja spełnia założenia twierdzenia Rolle’a, a zatem istnieje punkt taki, że , z drugiej strony mamy i stąd otrzymujemy . Dlatego też

Uogólnienie[edytuj]

Dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach wektorowych (a nawet w dla ) teza twierdzenia nie jest spełniona. Na przykład linia śrubowa (traktowana jako wykres funkcji ) podczas jednego obrotu nie ma w żadnym momencie pochodnej zerowej, a powraca do swojej wartości (na osiach x,y).

Dla funkcji różniczkowalnej o wartościach w dowolnej przestrzeni Banacha spełniona jest nierówność:

Dowód polega na stwierdzeniu, że dla każdego i każdego ograniczenia górnego normy pochodnej na przedziale kresem górnym zbioru końców przedziału dla których teza przy w miejscu i ograniczeniu górnym zamiast supremum jest spełniona, jest . Po zastąpieniu ograniczenia kresem, nierówność pozostanie spełniona. Przejście graniczne z do zera daje, dzięki ciągłości funkcji tezę.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]