Funkcja π

Funkcja pi – jedna z funkcji używanych w teorii liczb.

Wartością funkcji dla danej liczby $x$ jest liczba liczb pierwszych nie większych od $x$.

Funkcja ta jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, choć zwykle bada się jej zachowanie tylko dla liczb naturalnych.

Właściwości

Niektóre z nierówności dotyczących funkcji π to:

• $\pi(x) > \frac {x} {\ln x}$ dla $x \ge 17$
• $\pi(x) < 1{,}25506 \frac {x} {\ln x}$ dla $x > 1\;$
• $\frac {x} {\ln x + 2} < \pi(x) < \frac {x} {\ln x - 4}$ dla $x \ge 55$

Ponadto:

• $\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\pi(x)}{x/\operatorname{ln}(x)}=1$
• $\lim_{x\rightarrow \infty}\pi(x) / \operatorname{li}(x)=1$

gdzie $\operatorname{li}$ jest logarytmem całkowym

Przebieg funkcji π(n) dla pierwszych sześćdziesięciu liczb naturalnych

Zobacz też

• Funkcja φ.