Przejdź do zawartości

Krzywa łańcuchowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Krzywe łańcuchowe dla różnych wartości parametru

Krzywa łańcuchowa, linia łańcuchowakrzywa płaska, której kształt przyjmuje doskonale nierozciągliwa i nieskończenie wiotka lina o niezerowej, jednostajnie rozłożonej masie[1] (tj. o jednorodnej gęstości), swobodnie zwisająca pomiędzy dwiema różnymi podporami w jednorodnym polu grawitacyjnym[2][3][4].

Krzywa łańcuchowa jest przeskalowanym wykresem funkcji cosinusa hiperbolicznego[5]:

Wyprowadzenie równania

[edytuj | edytuj kod]
Siły działające na łuk

Linia (krzywa) łańcuchowa jest rozważana w układzie współrzędnych, tak jak na rysunku obok, symetrycznie względem osi Łuk będzie traktowany jak ciało materialne. Zakłada się, że układ jest w stanie równowagi. Łuk podlega działaniom trzech sił i gdzie:

– siła naprężenia łuku w punkcie o kierunku stycznej do krzywej w tym punkcie,
– siła naprężenia łuku w punkcie o kierunku stycznej do krzywej w tym punkcie,
– ciężar łuku krzywej.

Korzystając z założenia o stanie równowagi, dostaje się:

Wektory ortogonalne, więc oznaczając przez kąt między wektorami dostaje się

Ciężar łuku wynosi

gdzie:

długość łuku
– ciężar jednostki długości.

Stąd

Ostatecznie dostaje się równanie różniczkowe:

gdzie

Różniczkując je względem otrzymujemy

i wykorzystując zależność dostaje się:

Jest to równanie różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego z warunkami początkowymi

Podstawiając:

otrzymuje się równanie różniczkowe rzędu pierwszego:

Teraz rozdziela się zmienne i całkuje:

Następnie wraca się do podstawienia:

Uwzględniając warunki początkowe otrzymuje się ostatecznie

Zastosowania

[edytuj | edytuj kod]

Liny wiszące

[edytuj | edytuj kod]

Krzywa łańcuchowa znajduje zastosowanie przy badaniu wiszących lin (np. przewodów elektrycznych, lin metalowych).

Wiszącą linę charakteryzują pewne stałe: strzałka (zwana też strzałką zwisu bądź zwisem), rozpiętość minimalne zawieszenie i maksymalne zawieszenie W zastosowaniach przydatne są pewne zależności między tymi stałymi.

  • Wiadomo, że długość linii łańcuchowej w przedziale jest równa:

skąd otrzymuje się zależność:

  • Zgodnie z równaniem linii łańcuchowej:

czyli:

Po rozwinięciu prawej strony w szereg Maclaurina otrzymuje się:

co daje przybliżoną zależność:

  • W niektórych obliczeniach technicznych linię łańcuchową zastępuje się parabolą. Wynika to z rozwinięcia funkcji w szereg Maclaurina:

Dla dostatecznie dużej wartości (dla małej wartości ) daje dobre przybliżenie linii łańcuchowej parabolą:

Łańcuch wiszącego mostu, podtrzymujący pionowymi linami (wantami) nawierzchnię mostu, ma na ogół kształt paraboli.

Stropy

[edytuj | edytuj kod]

Linię łańcuchową wykorzystuje się przy projektowaniu stropów. Strop zwany arkadą ma kształt opisany równaniem:

Historia

[edytuj | edytuj kod]

Pierwsze z rozważań o krzywej, która przyjmuje kształt lekkiego, zwisającego łańcucha zamocowanego na końcach, pojawiło się w „Dialogach” Galileusza z 1632 roku. Stwierdził on, iż jest to parabola. Nie podał wywodów, jedynie wyraził powszechnie przyjęte przekonanie, które prawdopodobnie wytworzyło się wiek wcześniej, gdy Leonardo da Vinci szkicował w swych pracach zawieszone łańcuchy. Wygląda na to, że wszyscy, łącznie z Kartezjuszem, milcząco przyjmowali to za prawdę. Stwierdzenie takie pojawiło się w znanym i cenionym podręczniku Simona Stevina z 1634 r. i poręczał je w zamieszczonych w książce komentarzach Albert Girard, który twierdził też, że 17 lat wcześniej zdołał tego dowieść, ale nie miał w owym momencie czasu na zamieszczenie dowodu w książce Stevina.

W 1646 roku Marin Mersenne (matematyk zajmujący się między innymi teorią liczb) dostał list od zamożnego rządowego funkcjonariusza z Niderlandów, znanego też ze swych poematów i kompozycji, Constantina Huygensa. W liście ojciec chwali się swoim zdolnym, 17-letnim synem Christiaanem. Zainteresowany Mersenne napisał do młodzika, a ten już w pierwszym liście oznajmił, że wbrew stwierdzeniu Galileusza, wiszący łańcuch nie tworzy paraboli, lecz podobną do niej krzywą. Mersenne poprosił o pokazanie dowodu i zapytał jak przy pomocy dodatkowych obciążeń (czyli zewnętrznych sił) zmienić kształt krzywej, by przemieniła się ona w ową parabolę. Wkrótce otrzymał odpowiedź z dowodem. Chociaż ta wymiana listów wprowadziła Christiana Huygensa do świata europejskiej nauki, jego dowód, geometryczny i skomplikowany, pozostał na uboczu rozważań przez następne 20 lat.

Inne podejścia do problemu, łatwiejsze do zrozumienia, zyskały uznanie, ale ciągle nie było wyjaśnienia jak opisać kształt owej krzywej. Dopiero w 1691 Gottfried Wilhelm Leibniz, Johann Bernoulli i 61-letni Christian Huygens opublikowali rozwiązanie w Acta eruditorium[6]. Huygens zaproponował nazwę, catenaria (łac. catena – łańcuch), czyli linia łańcuchowa, którą zaproponował w 1690 r. w liście do Leibniza.

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Linę taką definiuje się także jako łańcuch zbudowany z nieskończenie wielu i nieskończenie krótkich doskonale sztywnych ogniw nie wykazujących tarcia na łączeniach ogniw.
  2. J.Hajduk, J.Osiecki, Ustroje cięgnowe – teoria i obliczanie, WNT, Warszawa 1970.
  3. G.K. Susłow, Mechanika teoretyczna, PWN, Warszawa 1960.
  4. Д.Р. Меркин, Введене в механикү гибкой нити, Издат. „Наүка”, Москва 1980.
  5. krzywa łańcuchowa, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-06-20].
  6. Jahnke 2003 ↓, s. 109.

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]