Trójka uporządkowana

Trójka uporządkowana – zbiór zbudowany z obiektów $x,y,z$ tak, aby była określona kolejność tych elementów, oznaczany zazwyczaj symbolem $(x,y,z)$ ^[1]^[2]. Elementy trójki uporządkowanej nazywa się jej współrzędnymi^[1]. Przy powyższym zapisie, $x$ nazywa się pierwszą współrzędną, $y$ – drugą współrzędną, a $z$ – trzecią współrzędną^[1].

Definicje formalne

Za pomocą pary zagnieżdzonej

Formalnie, przy pomocy pojęcia pary uporządkowanej, definiuje się trójkę uporządkowaną $(x,y,z)$ jako parę uporządkowaną $((x,y),z)$ ^[1]^[2]^[3].

$(x,y,z)=((x,y),z)$

Korzystając z definicji pary Kuratowskiego, trójka wyglądała by wówczas tak:

$(x,y,z)={\Bigl \{}{\Bigl \{}\{\{x\},\{x,y\}\}{\Bigr \}},{\Bigl \{}\{\{x\},\{x,y\}\},z{\Bigr \}}{\Bigr \}}$

Analogicznie można zdefiniować n-kę uporządkowaną, dla każdego $n\geq 3$ ^[1]^[2]^[3]^[4].

Minusem zagnieżdżeń jest to. że w ostatecznej formule elementy dublują się (np. x występuje tam czterokrotnie więc przy podstawianiu konieczne będzie jego czterokrotne przepisanie).

Za pomocą zbioru par

Można zdefiniować trójkę numerjąc kązdy element bezpośrednnio, na podobnej zasadzie jak w parze Hausdorfa:

$(x,y,z)={\Bigl \{}(1,x),(2,y),(3,z){\Bigr \}}$

Należy zwrócić uwagę że pary nie można zastąpić zwykłym zbiorem ponieważ pojawiła by się niejednoznaczność np. dla $(3,1,2)=\{\{1,3\},\{2,1\},\{3,2\}\}=\{\{1,2\},\{2,3\},\{3,1\}\}=(2,3,1)$ .

Korzystając z definicji pary Hausdorffa, trójka wyglądała by wówczas tak:

$(x,y,z)={\Bigl \{}\{\{1\},\{2,x\}\},\{\{1,2\},\{2,y\}\},\{\{1,3\},\{2,z\}\}{\Bigr \}}$

w takiej postaci, każdy element trójki występuje dokładnie jeden raz w ostatecznej formule.

Analogicznie można zdefiniować n-kę uporządkowaną, dla każdego $n\geq 3$ :

$(x_{1},x_{2},...,x_{n})={\Bigl \{}(1,x_{1}),(2,x_{2}),...,(n,x_{n}){\Bigr \}}$

ta definicja bazuje na tej samej idei co definicja ciągu i jest prawidłowa również dla $n=\infty$ .

Własności i zastosowanie

Można udowodnić twierdzenie stwierdzające, że $(a,b,c)=(d,e,f)\Leftrightarrow (a=d\wedge b=e\wedge c=f)$ ^[1]^[2]^[3].

Trójki uporządkowane stosowane są np. do zapisu współrzędnych punktów w przestrzeniach trójwymiarowych^[5].

Przypisy

↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ISBN 83-02-02551-8, s. 328: Trójka uporządkowana.
↑ ^a ^b ^c ^d Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek, Teoria mnogości, PWN, Warszawa 2015, ISBN 978-83-01-15232-1, s. 6-8
↑ ^a ^b ^c Wiktor Marek, Janusz Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14547-7, s. 22
↑ Antoni Chronowski, Zadania z elementów teorii mnogości i logiki matematycznej, Wydawnictwo Dla Szkoły, Wilkowice 2004, ISBN 83-88396-42-0, s. 32
↑ Helena Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14294-0, s. 71

[ency-1] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ISBN 83-02-02551-8, s. 328: Trójka uporządkowana.

[TM-2] Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek, Teoria mnogości, PWN, Warszawa 2015, ISBN 978-83-01-15232-1, s. 6-8

[zad-3] Wiktor Marek, Janusz Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14547-7, s. 22

[4] Antoni Chronowski, Zadania z elementów teorii mnogości i logiki matematycznej, Wydawnictwo Dla Szkoły, Wilkowice 2004, ISBN 83-88396-42-0, s. 32

[5] Helena Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14294-0, s. 71

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]