Ciąg Eulera

Ciąg Eulera – ciąg liczb naturalnych zdefiniowany funkcją kwadratową:

$a_{n}=n^{2}-n+41.$

Ciąg ten nazwano na cześć Leonharda Eulera.

Pierwszych 40 wyrazów tego ciągu jest liczbami pierwszymi i odkrycie tego ciągu było w czasach Eulera wyczynem – niełatwo było uzyskać tyle wartości pierwszych z rzędu bez komputera. Jednak dla $n=41$ otrzymujemy liczbę złożoną. Ogólniej, $n^{2}-n+41$ jest podzielne przez 41 dla każdego $n$ dającego z dzielenia przez 41 resztę 0 lub 1. Zatem dla takich naturalnych $n$ liczba $n^{2}-n+41$ jest zawsze złożona, z wyjątkiem $n$ równego 0 lub 1. Jasno widać to z równości:

$n^{2}-n+41=n\cdot (n-1)+41.$

Podobnie, 43 jest dzielnikiem $a_{n}$ dla każdego $n$ dającego resztę 42 (czyli −1) z dzielenia przez 43 itd.

Pewne wyrazy złożone $a_{n}$

Niech $C:=d^{2}+41.$ Wtedy, dla $d$ całkowitego:

$a_{C}=C^{2}-d^{2}=(C-d)\cdot (C+d),$

gdzie $\min(C-d,C+d)\geqslant C-|d|\geqslant C-d^{2}\geqslant 41,$ więc oba czynniki rozłożenia są $>1.$ Otrzymaliśmy więc rozkład właściwy, pokazujący, że $a_{C}$ jest liczbą złożoną. Co więcej, dla każdego rozkładu

$n=x\cdot y$

dostajemy dwie nieskończone serie – jedną dla $x,$ drugą dla $y$ (ale wypiszemy ją tylko dla $x$):

$a_{n+k\cdot x}=(n^{2}-n+41)+(2\cdot n+k\cdot x-1)\cdot k\cdot x,$

czyli

$a_{n+k\cdot x}=(1+(2\cdot n+k\cdot x-1)\cdot k)\cdot x.$

Biorąc pod uwagę oba parametry $d$ i $k,$ otrzymujemy $2$-parametrową rodzinę rozkładów.

Przykład

Niech na przykład $d:=4.$ Wtedy $C=57,$ więc:

$a_{C}=a_{57}=53\cdot 61$