Ciąg Fareya

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ciąg ułamków Fareya rzędu rosnący ciąg wszystkich nieskracalnych ułamków takich, że [1].

Przykład[edytuj]

[2].

Własności[edytuj]

  • Twierdzenie Cauchy’ego-Fareya[3].
  • Dla nie ma dwóch kolejnych ułamków o tym samym mianowniku[4].
  • Jeśli są kolejnymi ułamkami ciągu ułamków Fareya , to [5].
  • Jeśli są kolejnymi ułamkami ciągu ułamków Fareya , to [6].

Przykład zastosowania[edytuj]

Znaleźć liczby najbliższe , których mianowniki są mniejsze od 50.

Mamy:

czyli

zachodzi nierówność: więc:

zauważamy, że skrajne wartości są najlepszymi oszacowaniami spośród liczb o mianowniku nie większym niż 2.

Stwierdzamy, że czyli:

a zatem:

W kolejnych krokach dostajemy:

Liczby oraz są kolejnymi liczbami w pięćdziesiątym ciągu Fareya, więc nie ma pomiędzy nimi liczby o mianowniku mniejszym niż 58, czyli są to poszukiwane liczby.

Zobacz też[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]

Przypisy

  1. Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s.58, Definicja 12.2.
  2. Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s.58, Przykład 12.3.
  3. Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s.58, Twierdzenie 12.4.
  4. Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s.59, Twierdzenie 12.6.
  5. Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s.59, Twierdzenie 12.7.
  6. Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s.59, Twierdzenie 12.8.