Ciąg Fareya

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

-ty ciąg Fareya to rosnący ciąg liczb wymiernych z przedziału , których mianowniki są nie większe od .

Przykłady[edytuj]

  • to:
  • to:
  • ciągiem jest:
  • to:

Konstrukcja[edytuj]

  • Napisz ciąg
  • Tak długo, jak to możliwe wstawiaj pomiędzy liczby , dla których liczbę

Własności[edytuj]

  • Jeśli liczby oraz są kolejnymi liczbami w (dowolnym) ciągu Fareya, to nie ma pomiędzy nimi liczby wymiernej o mianowniku mniejszym niż
  • Jeśli liczby oraz są kolejmymi liczbami w (dowolnym) ciągu Fareya, to

Przykład zastosowania[edytuj]

Znaleźć liczby najbliższe , których mianowniki są mniejsze od 50.

Mamy:

czyli

zachodzi nierówność: więc:

zauważamy, że skrajne wartości są najlepszymi oszacowaniami spośród liczb o mianowniku nie większym niż 2.

Stwierdzamy, że czyli:

a zatem:

W kolejnych krokach dostajemy:

Liczby oraz są kolejnymi liczbami w pięćdziesiątym ciągu Fareya, więc nie ma pomiędzy nimi liczby o mianowniku mniejszym niż 58, czyli są to poszukiwane liczby.

Zobacz też[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]