Sumowalność metodą Cesàro

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Sumowalność metodą Cesàro lub sumowalność w sensie Cesàro – alternatywny sposób przypisania sumy do nieskończonego szeregu w analizie matematycznej. Jeśli szereg jest zbieżny w zwykłym sensie do sumy to jest także sumowalny metodą Cesàro i jego suma w sensie Cesàro również wynosi Znaczenie sumowalności metodą Cesàro polega na tym, że szeregi rozbieżne mogą mieć dobrze zdefiniowaną sumę Cesàro.

Nazwa metody sumowania pochodzi od włoskiego matematyka Ernesto Cesàro (1859–1906).

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Dla danego nieskończonego ciągu definiuje się

będący -tą sumą częściową ciągu lub sumą częściową szeregu

O szeregu mówi się, że ma sumę w sensie Cesàro o wartości jeżeli średnia wartość jego sum cząstkowych jest zbieżna do

Innymi słowy, suma w sensie Cesàro nieskończonego szeregu jest granicą średniej arytmetycznej (średnia) pierwszych sum częściowych szeregu, przy zmierzającym do nieskończoności.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Połóżmy dla Kolejne wyrazy ciągu to

Stąd ciąg sum częściowych to

Wyraźnie widać, że ten szereg, znany jako szereg Grandiego, nie jest zbieżny. Z drugiej strony jednak widać, że wyrazy ciągu wynoszą

czyli

Wobec powyższego suma szeregu w sensie Cesàro wynosi 1/2.

Rozpatrując kolejny ciąg Wyrazy ciągu to

a ich suma jest rozbieżna do nieskończoności. Wyrazy ciągu wynoszą

Są one również rozbieżne do nieskończoności, wobec czego szereg ten nie jest sumowalny w sensie Cesàro. Uogólniając, w szeregach rozbieżnych do (dodatniej lub ujemnej) nieskończoności sumowanie metodą Cesàro prowadzi do ciągów podobnie rozbieżnych, a więc takie szeregi nie są sumowalne w sensie Cesàro. Ciągi monotoniczne tworzą albo szeregi zbieżne albo rozbieżne do nieskończoności, stąd wynika, że jeśli szereg nie jest zbieżny, ale jest sumowalny w sensie Cesàro to jego wyrazy muszą oscylować tj. zawierać wyrazy dodatnie i ujemne. Należy jednak zauważyć, że nie muszą one pojawiać się regularnie lub powtarzać się według oczywistego wzoru.

Sumowanie (C, α)[edytuj | edytuj kod]

W 1890 roku Ernesto Cesàro zdefiniował szerszą rodzinę metod sumowania, którą określono mianem dla nieujemnych liczb całkowitych Metoda jest tradycyjnym sumowaniem, a jest metodą sumowania Cesàro opisaną powyżej.

Metody wyższych rzędów można opisać następująco: mając dany szereg definiuje się wielkości

oraz wprowadza będące wartościami dla szeregu Wtedy suma szeregu jest oznaczana przez i wynosi

jeśli istnieje[1].

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Shawyer & Watson, s. 16–17.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]