Suma alikwotowa

Suma alikwotowa - suma wszystkich dzielników właściwych, tj. wszystkich dodatnich dzielników liczby $n$ różnych od samej liczby $n$ dodatniej liczby naturalnej $n$. Definiuje ją wzór $s(n):\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$:

$s(n):=\sum _{{d|n,} \atop {d\neq n}}d$.

Przykład

Dzielnikami właściwymi liczby $12$ są liczby $1$, $2$, $3$, $4$ oraz $6$, zatem suma alikwotowa liczby $12$ wynosi $16$:

$s(12)=1+2+3+4+6=16$.

Wartości $s(n)$ dla $n=1$, $2$, $3$, $\ldots$ wynoszą odpowiednio:

$0$, $1$, $1$, $3$, $1$, $6$, $1$, $7$, $4$, $8$, $1$, $16$, $1$, $10$, $9$, $15$, $1$, $21$, $1$, $22$, $11$, $14$, $1$, $36$, $6$, $16$, $13$, $28$, $1$, $42$, $1$, $31$, $15$, $20$, $13$, $55$, $1$, $22$, $17$, $50$, $1$, $54$, $1$, $40$, $33$, $26$, $1$, $76$, $8$, $43$, ...

Charakterystyka klas liczbowych

Funkcja sumy alikwotowej może posłużyć do scharakteryzowania pewnych klas liczbowych:

• $1$ jest jedyną liczbą, której suma alikwotowa wynosi $0$.
• Liczba jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy jej suma alikwotowa wynosi $1$.
• Sumy alikwotowe liczby doskonałej, liczby deficytowej oraz liczby nadmiarowej są odpowiednio równe, mniejsze i większe od tych liczb.
• Liczba niedotykalna jest liczbą, która nie stanowi sumy alikwotowej żadnej innej liczby.

Uwagi

Funkcja sumy alikwotowej występuje częściej w literaturze obcojęzycznej. W literaturze polskojęzycznej dominuje tradycja stosowania funkcji sigma, którą z funkcją sumy alikwotowej związana jest następująco:

$\sigma (n)=s(n)+n$.

Bibliografia

• Alexander A. Stepanov, Daniel E. Rose: Od matematyki do programowania uogólnionego. Z języka angielskiego przełożył Zdzisław Płoski. Wyd. 1. Gliwice: Helion, 2006. ISBN 978-83-283-1028-5.