Splot Dirichleta

Splot Dirichleta – dla funkcji arytmetycznych f i g jest to funkcja określona wzorem

(f*g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g(n/d),

gdzie suma rozciąga się po wszystkich dodatnich dzielnikach d liczby n^[1]^[2].

Własności algebraiczne

(1) Zbiór funkcji arytmetycznych ze zwykłym dodawaniem i splotem Dirichleta jako mnożeniem tworzy pierścień przemienny z jednością^[2] określoną jako

\varepsilon (n)={\begin{cases}1,&{\text{gdy}}\ n=1\\0,&{\text{gdy}}\ n\neq 1.\end{cases}}

(2) Zbiór funkcji multiplikatywnych tworzy grupę ze splotem Dirichleta jako działaniem grupowym. Oznacza to, że splot funkcji multiplikatywnych jest funkcją multiplikatywną, splot Dirichleta jest działaniem łącznym oraz dla każdej funkcji multiplikatywnej f istnieje taka funkcja multiplikatywna g, że f * g = ε, gdzie ε oznacza element neutralny^[3].

Przypisy

↑ AdamA. Neugebauer AdamA., Matematyka olimpijska. 1, Algebra i teoria liczb, wyd. 1, Kraków: Wydawnictwo Szkolne OMEGA, 2018, s. 147, ISBN 978-83-7267-710-5, OCLC 1055646686 [dostęp 2022-07-07] .
↑ ^a ^b WładysławW. Narkiewicz WładysławW., Teoria liczb, wyd. 3, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2003, s. 99, 122, ISBN 83-01-14015-1, OCLC 749285993 [dostęp 2022-07-07] .
↑ AndrzejA. Nowicki AndrzejA., Funkcje arytmetyczne, Wydawnictwo Naukowe OWSIiZ, 2012, s. 6-8, ISBN 978-83-88629-71-6, OCLC 840295292 [dostęp 2022-07-07] .

[1] AdamA. Neugebauer AdamA., Matematyka olimpijska. 1, Algebra i teoria liczb, wyd. 1, Kraków: Wydawnictwo Szkolne OMEGA, 2018, s. 147, ISBN 978-83-7267-710-5, OCLC 1055646686 [dostęp 2022-07-07] .

[:0-2] WładysławW. Narkiewicz WładysławW., Teoria liczb, wyd. 3, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2003, s. 99, 122, ISBN 83-01-14015-1, OCLC 749285993 [dostęp 2022-07-07] .

[3] AndrzejA. Nowicki AndrzejA., Funkcje arytmetyczne, Wydawnictwo Naukowe OWSIiZ, 2012, s. 6-8, ISBN 978-83-88629-71-6, OCLC 840295292 [dostęp 2022-07-07] .

[1]

[2]

[3]