Funkcja ograniczona: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
m →[[interwiki]]-bot: poprawia: eo |
dodano punktor przed przykładem wielomianów |
||
Linia 14: | Linia 14: | ||
==Przykłady== |
==Przykłady== |
||
* funkcje ''sin'' i ''cos'' są ograniczone – wszystkie ich wartości należą do przedziału [-2, 2] (oczywiście, również do przedziału [-1, 1]). |
* funkcje ''sin'' i ''cos'' są ograniczone – wszystkie ich wartości należą do przedziału [-2, 2] (oczywiście, również do przedziału [-1, 1]). |
||
* funkcje <math>y = x, y = x^2</math> (ogólnie - wszystkie niestałe [[wielomian]]y) nie są ograniczone. |
|||
* ciąg 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,... jest ograniczony, bo wszystkie jego wyrazy należą do przedziału <math>[0, 1]</math>. |
* ciąg 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,... jest ograniczony, bo wszystkie jego wyrazy należą do przedziału <math>[0, 1]</math>. |
||
* ciąg 1, 2, 3, 4,... , choć ograniczony z dołu, nie jest ograniczony (bo nie jest ograniczony z góry). |
* ciąg 1, 2, 3, 4,... , choć ograniczony z dołu, nie jest ograniczony (bo nie jest ograniczony z góry). |
Wersja z 12:51, 10 maj 2006
Funkcja ograniczona to funkcja, której wszystkie wartości należą do pewnego przedziału skończonego.
Funkcję nie będącą ograniczoną nazywa się nieograniczoną. Zdefiniować ją można inaczej: jest to funkcja, której zbiór wartości nie zawiera się w żadnym skończonym przedziale.
Funkcję, której przeciwdziedziną jest przestrzeń metryczna nazywamy ograniczoną, gdy wszystkie jej wartości należą do pewnej kuli. Natomiast funkcję nazywamy nieograniczoną, gdy jej zbiór wartości nie zawiera się w żadnej kuli.
Funkcję nazwiemy ograniczoną z góry jeżeli wszystkie jej wartości są mniejsze od pewnej ustalonej liczby. Analogicznie: funkcja jest ograniczona z dołu jeżeli wszystkie jej wartości są większe od pewnej ustalonej liczby. Zatem, funkcja jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie ograniczony z góry i z dołu.
Ciągi ograniczone
Szczególnym przypadkiem funkcji ograniczonych są ciągi ograniczone.
Tylko ciąg ograniczony może mieć skończoną granicę.
Przykłady
- funkcje sin i cos są ograniczone – wszystkie ich wartości należą do przedziału [-2, 2] (oczywiście, również do przedziału [-1, 1]).
- funkcje (ogólnie - wszystkie niestałe wielomiany) nie są ograniczone.
- ciąg 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,... jest ograniczony, bo wszystkie jego wyrazy należą do przedziału .
- ciąg 1, 2, 3, 4,... , choć ograniczony z dołu, nie jest ograniczony (bo nie jest ograniczony z góry).
- ciąg -1, -3, -5, -7, ... nie jest ograniczony z dołu, jest natomiast ograniczony z góry.