Funkcja ograniczona

Funkcja ograniczona – funkcja, której wszystkie wartości należą do pewnego przedziału ograniczonego.

Funkcją nieograniczoną nazywa się funkcję, która nie jest ograniczona. Równoważnie: jest to funkcja, której zbiór wartości nie zawiera się w żadnym przedziale.

Ograniczoność z góry i z dołu

Funkcję nazwiemy ograniczoną z góry, jeżeli wszystkie jej wartości są mniejsze od pewnej ustalonej liczby. Podobnie funkcja jest ograniczona z dołu, jeżeli wszystkie jej wartości są większe od pewnej ustalonej liczby. Zatem funkcja jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie ograniczona z góry i z dołu.

Ciągi ograniczone

Ponieważ każdy ciąg jest funkcją, zatem pojęcie ograniczoności funkcji przenosi się w naturalny sposób na ciągi. Wyłącznie ciągi ograniczone mogą mieć skończone granice.

Topologia

Funkcję, której przeciwdziedziną jest przestrzeń metryczna nazywamy ograniczoną, gdy wszystkie jej wartości zawierają się w pewnej kuli. Analogicznie funkcję nazywamy nieograniczoną, gdy jej zbioru wartości nie da się zamknąć w żadnej kuli.

Przykłady

• funkcje sinus i cosinus są ograniczone – wszystkie ich wartości należą do przedziału $[-1,1]$.
• funkcje $f(x)=x,\;f(x)=x^{2}$ (ogólnie wszystkie wielomiany stopnia niezerowego) są nieograniczone.
• ciąg $1,{1 \over 2},{1 \over 3},{1 \over 4},{1 \over 5},\dots$ jest ograniczony, gdyż wszystkie jego wyrazy należą do przedziału $(0,1]$.
• ciąg $1,2,3,4,\dots$ choć ograniczony z dołu, nie jest ograniczony z góry, zatem jest nieograniczony.
• ciąg $-1,-3,-5,-7,\dots$ nie jest ograniczony z dołu, natomiast posiada ograniczonie górne.

Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• ciąg.