Funkcje cyklometryczne

Funkcje cyklometryczne (funkcje kołowe) – funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów.

Funkcje trygonometryczne rozpatrywane na tych przedziałach są różnowartościowe i mają funkcje odwrotne. Tak więc:

• arcus sinus jest funkcją odwrotną do funkcji sinus rozpatrywanej na przedziale $\left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right].$ W przedziale tym sinus jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale $\left[-1;1\right]$ (czyli obrazie przedziału $\left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]$ przez funkcję $\sin$).
• arcus cosinus jest funkcją odwrotną do funkcji cosinus rozpatrywanej na przedziale $\left[0,\pi \right].$ W przedziale tym cosinus jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale $\left[-1;1\right]$ (czyli obrazie przedziału $\left[0,\pi \right]$ przez funkcję $\cos$).
• arcus tangens jest funkcją odwrotną do funkcji tangens rozpatrywanej na przedziale $\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right).$ W przedziale tym tangens jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona w zbiorze $\mathbb {R}$ (czyli obrazie przedziału $\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)$ przez funkcję $\operatorname {tg}$).
• arcus cotangens jest funkcją odwrotną do funkcji cotangens rozpatrywanej na przedziale $\left(0,\pi \right).$ W przedziale tym cotangens jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona w zbiorze $\mathbb {R}$ (czyli obrazie przedziału $\left(0,\pi \right)$ przez funkcję $\operatorname {ctg}$).
• arcus secans jest funkcją odwrotną do funkcji secans rozpatrywanej na przedziale $\left[0,\pi \right].$ W przedziale tym secans jest funkcją rosnącą w każdym z przedziałów (zatem różnowartościową): $\left[0,{\tfrac {\pi }{2}}\right),$ $\left({\tfrac {\pi }{2}},\pi \right],$ wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale $\left(-\infty ,-1\right]\cup \left[1,+\infty \right)$ (czyli obrazie przedziału $\left[0,\pi \right]$ przez funkcję $\sec$).
• arcus cosecans jest funkcją odwrotną do funkcji cosecans rozpatrywanej na przedziale $\left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right].$ W przedziale tym cosecans jest funkcją malejącą w każdym z przedziałów (zatem różnowartościową): $\left[-{\tfrac {\pi }{2}},0\right),$ $\left(0,{\tfrac {\pi }{2}}\right],$ wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale $\left(-\infty ,-1\right]\cup \left[1,+\infty \right)$ (czyli obrazie przedziału $\left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]$ przez funkcję $\csc$).

Zgodnie z określeniem funkcji odwrotnej:

• $\arcsin \ x=y$ gdy $\sin \ y=x$
• $\arccos \ x=y$ gdy $\cos \ y=x$
• $\operatorname {arctg} \ x=y$ gdy $\operatorname {tg} \ y=x$
• $\operatorname {arcctg} \ x=y$ gdy $\operatorname {ctg} \ y=x$
• $\operatorname {arcsec} \ x=y$ gdy $\sec \ y=x$
• $\operatorname {arccsc} \ x=y$ gdy $\csc \ y=x$

Jak w przypadku funkcji trygonometrycznych nawiasów wokół argumentów możemy nie stawiać, chyba że prowadziłoby to do niejednoznaczności.

Własności funkcji wynikają natychmiast z twierdzeń o funkcjach odwrotnych. Wszystkie z nich są ciągłe i różniczkowalne.

• arcus sinus jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest $\left[-1;1\right],$ a przeciwdziedziną $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$
• arcus cosinus jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest $\left[-1;1\right],$ a przeciwdziedziną $\left[0,\pi \right]$
• arcus tangens jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest $\mathbb {R} ,$ a przeciwdziedziną $\left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)$
• arcus cotangens jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest $\mathbb {R} ,$ a przeciwdziedziną $\left(0,\pi \right)$
• arcus secans jest funkcją rosnącą w każdym z przedziałów: $\left(-\infty ,-1\right],$ $\left[1,+\infty \right).$ Jej dziedziną jest $\left(-\infty ,-1\right]\cup \left[1,+\infty \right),$ a przeciwdziedziną $\left[0,\pi \right]\setminus \{{\frac {\pi }{2}}\}.$
• arcus cosecans jest funkcją malejącą w każdym z przedziałów: $\left(-\infty ,-1\right],$ $\left[1,+\infty \right).$ Jej dziedziną jest $\left(-\infty ,-1\right]\cup \left[1,+\infty \right),$ a przeciwdziedziną $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\setminus \{0\}$

Zależności między funkcjami cyklometrycznymi

$\arcsin \ x+\arccos \ x={\frac {\pi }{2}}\quad dla\ x\in <-1;1>$

$\operatorname {arctg} \ x+\operatorname {arcctg} \ x={\frac {\pi }{2}}\quad dla\ x\in \mathbb {R}$

$\operatorname {arcsec} \ x+\operatorname {arccsc} \ x={\frac {\pi }{2}}$

Argumenty ujemne:

$\arcsin \ (-x)=-\arcsin \ x$

$\arccos \ (-x)=\pi -\arccos \ x$

$\operatorname {arctg} \ (-x)=-\operatorname {arctg} \ x$

$\operatorname {arcctg} \ (-x)=\pi -\operatorname {arcctg} \ x$

$\operatorname {arcsec} \ (-x)=\pi -\operatorname {arcsec} \ x$

$\operatorname {arccsc} \ (-x)=-\operatorname {arccsc} \ x$

Odwrotności argumentów:

$\arcsin \ {\frac {1}{x}}=\operatorname {arccsc} \ x$

$\arccos \ {\frac {1}{x}}=\operatorname {arcsec} \ x$

$\operatorname {arctg} \ {\frac {1}{x}}=\operatorname {arcctg} \ x\ ;\ x>0$

$\operatorname {arctg} \ {\frac {1}{x}}=\operatorname {arcctg} \ x-\pi \ ;\ x<0$

$\operatorname {arcctg} \ {\frac {1}{x}}=\operatorname {arctg} \ x\ ;\ x>0$

$\operatorname {arcctg} \ {\frac {1}{x}}=\operatorname {arctg} \ x+\pi \ ;\ x<0$

$\operatorname {arcsec} \ {\frac {1}{x}}=\arccos \ x$

$\operatorname {arccsc} \ {\frac {1}{x}}=\arcsin \ x$

Przykłady

• $\arcsin \;0=0$
• $\arcsin \;{\frac {1}{2}}={\frac {\pi }{6}}$
• $\arcsin \;1={\frac {\pi }{2}}$
• $\arccos \;0={\frac {\pi }{2}}$
• $\arccos \;{\frac {1}{2}}={\frac {\pi }{3}}$
• $\arccos \;(-1)=\pi$
• $\operatorname {arctg} \;0=0$
• $\operatorname {arctg} \;1={\frac {\pi }{4}}$
• $\operatorname {arcctg} \;0={\frac {\pi }{2}}$
• $\operatorname {arcctg} \;1={\frac {\pi }{4}}$

Oto wykresy kolejnych funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych, które są symetryczne względem prostej $\,y=x.$

Funkcje: $\,y=sin(x)\;\;i\;\;y=arcsin(x)$

Funkcje:$\,y=cos(x)\;\;i\;\;y=arccos(x)$

Wykresy funkcji $y=\operatorname {arctg} \ x,$ $y=\operatorname {tg} \ x$ są symetryczne względem prostej $y=x.$

Wykresy funkcji $y=\operatorname {arcctg} \ x,$ $y=\operatorname {ctg} \ x$ są symetryczne względem prostej $y=x.$