Twierdzenie Lagrange’a (rachunek różniczkowy)

Twierdzenie Lagrange’a – jedno z kilku twierdzeń o wartości średniej w rachunku różniczkowym; jest to uogólnienie twierdzenia Rolle’a oraz szczególny przypadek twierdzenia Cauchy’ego i twierdzenia Taylora.

Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Josepha Louisa Lagrange’a, który podał je i udowodnił w 1797 roku.

Twierdzenie

Jeśli dana funkcja $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ jest

• ciągła w przedziale $[a,b],$
• różniczkowalna w przedziale $(a,b),$

to istnieje taki punkt $c\in (a,b),$ że:

${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c).$

Interpretacje

W języku geometrii twierdzenie Lagrange’a mówi o tym, że na łuku będącym wykresem funkcji od punktu $\left(a,f(a)\right)$ do punktu $\left(b,f(b)\right),$ istnieje taki punkt, w którym styczna jest równoległa do siecznej poprowadzonej między punktami $\left(a,f(a)\right)$ i $\left(b,f(b)\right).$

współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie $\left(c,f(c)\right)$ wynosi $f'(c).$ Na mocy twierdzenia Lagrange’a jest on równy

${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.$

Z kolei teza twierdzenia Lagrange’a zapisana w postaci iloczynowej

$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$

wskazuje na to, że przyrost wartości funkcji dla argumentów $a$ i $b$ wyraża się przez przyrost wartości zmiennej (argumentów) i pochodną funkcji w pewnym punkcie pośrednim między $a$ i $b$ – stąd właśnie nazwa twierdzenia.

Dowód

Załóżmy, że:

$K={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}},$

$g(x)=f(x)-K(x-a).$

Mamy wtedy:

$g(a)=f(a)-K(a-a)=f(a)$

oraz

$g(b)=f(b)-K(b-a)=f(b)-f(b)+f(a)=f(a).$

A więc:

$g(a)=g(b),$ czyli funkcja $g(x)$ spełnia założenia twierdzenia Rolle’a, a zatem istnieje punkt $c\in (a,b)$ taki, że $g'(c)=0,$ z drugiej strony mamy $g'(x)=f'(x)-K$ i stąd otrzymujemy $0=g'(c)=f'(c)-K.$ Dlatego też $f'(c)=K={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.$

Historia

Pierwszy przykład zastosowania został opisany przez Parameśwarę (1380–1460), z keralskiej szkoły astronomii i matematyki, w jego komentarzach do Gowindśwvāminiego i Bhaskaraćarji. W 1691 roku Michel Rolle udowodnił prostszą postać tego twierdzenia dla wielomianów (nie powołując się na metody rachunku różniczkowego); dziś szczególny przypadek twierdzenia Lagrange’a znany jest właśnie jako twierdzenie Rolle’a. Twierdzenie Lagrange’a we współczesnej postaci i pełnej ogólności zostało postawione i udowodnione przez Augustina Louisa Cauchego w 1823 roku.

Uogólnienie

Dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach wektorowych (a nawet w $\mathbb {R} ^{n}$ dla $n>1$) teza twierdzenia nie jest spełniona. Na przykład linia śrubowa (traktowana jako wykres funkcji $\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}$) podczas jednego obrotu nie ma w żadnym momencie pochodnej zerowej, a powraca do swojej wartości (na osiach x,y).

Dla funkcji różniczkowalnej o wartościach w dowolnej przestrzeni Banacha spełniona jest nierówność:

$\|f(b)-f(a)\|\leqslant |b-a|\cdot \sup \limits _{t\in (a,b)}\|f'(t)\|.$

Dowód polega na wykazaniu, że dla liczby $\varepsilon >0$ i każdego ograniczenia górnego normy pochodnej na przedziale $(a,b),$ to $b$ jest kresem górnym zbioru końców przedziału, dla których spełniona jest teza, gdy zastąpić w niej $a$ przez $a+\varepsilon$ i supremum przez ograniczenie górne. Wystarczy wtedy zauważyć, że nierówność pozostanie prawdziwa zastąpiwszy ograniczenie kresem, a ponadto $\varepsilon$ może być dowolnie mała dzięki ciągłości funkcji $f.$

Zobacz też

• twierdzenie Darboux

Bibliografia

• G.M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. dwunaste. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002, s. 196. ISBN 83-01-02175-6.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Mean-Value Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2015-02-20]  (ang.).
• Finite-increments formula (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2022-06-20].