Liczby całkowite Gaussa

Liczby pierwsze Gaussa mogą być liczbami całkowitymi, ale wiele z nich ma niezerową część urojoną. Na rysunku liczby pierwsze Gaussa zostały wyróżnione kolorem zielonym.

Liczby całkowite Gaussa (liczby całkowite zespolone) – liczby zespolone, których części rzeczywiste i części urojone są liczbami całkowitymi. Formalnie, zbiór liczb całkowitych Gaussa definiuje się jako $\mathbb {Z} [i]=\{a+bi:a,b\in \mathbb {Z} \wedge i^{2}=-1\}$.

Wraz ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem liczb zespolonych liczby całkowite Gaussa tworzą, podobnie jak liczby całkowite, dziedzinę całkowitości, a nawet pierścień Euklidesa. Zbiór liczb całkowitych Gaussa nie jest natomiast pierścieniem uporządkowanym, podczas gdy zbiór liczb całkowitych jest takim pierścieniem.

Elementami odwracalnymi pierścienia $\mathbb {Z} [i]$ są: $1,-1,i,-i$. Mnożenie przez element odwracalny nie zmienia modułu liczby całkowitej Gaussa. Elementy odwracalne z działaniem mnożenia tworzą grupę czteroelementową izomorficzną grupie cyklicznej czteroelementowej. Generatorami tej grupy są $-i$ oraz $+i.$ Grupa ta działa na $\mathbb {Z} [i]$ i można ją interpretować geometrycznie jako grupę obrotów generowaną przez obrót dokoła początku układu współrzędnych o kąt prosty (obrót ten odpowiada mnożeniu przez $+i$). Poza orbitą jednoelementową {0} orbity tego działania są czteroelementowe, po jednym elemencie w każdej z ćwiartek układu współrzędnych, a dokładniej w zbiorach

$\{x+yi:x>0,y\geqslant 0\}$ (I ćwiartka),

$\{x+yi:x\leqslant 0,y>0\}$ (II ćwiartka),

$\{x+yi:x<0,y\leqslant 0\}$ (III ćwiartka),

$\{x+yi:x\geqslant 0,y<0\}$ (IV ćwiartka).

Elementy pierwsze pierścienia $\mathbb {Z} [i]$ są czasem nazywane liczbami pierwszymi Gaussa. Mają one głęboki związek z liczbami pierwszymi pierścienia $\mathbb {Z}$ oraz ze starym pytaniem Diofantosa o liczby całkowite dodatnie, które można przedstawić w postaci sumy kwadratów liczb całkowitych. Liczby pierwsze w $z=x+yi\in \mathbb {Z} [i]$ można opisać w następujący sposób:

1. Jeśli kwadrat modułu $|z|^{2}=x^{2}+y^{2}$ liczby $z$ jest w $\mathbb {Z}$ liczbą pierwszą postaci $4n+1$ (gdzie $n\in \mathbb {Z} _{+}$), to $z$ jest liczbą pierwszą w $\mathbb {Z} [i].$ Każda liczba pierwsza w $\mathbb {Z} _{+}$ postaci $4n+1$ rozkłada się na iloczyn dwóch liczb pierwszych Gaussa.
2. Liczba 2 jest podzielna przez kwadrat liczby pierwszej $1+i\in \mathbb {Z} [i].$
3. Liczba pierwsza w $\mathbb {Z}$ postaci $4n+3$ jest liczbą pierwszą w $\mathbb {Z} [i].$

Każda liczba pierwsza Gaussa jest jednego z trzech powyższych typów z dokładnością do mnożenia przez element odwracalny $(1,-1,i,-i).$

Przykłady

• Liczby 3, 7, 11, 19 są liczbami pierwszymi Gaussa.
• Liczbie pierwszej 5 odpowiadają liczby pierwsze Gaussa $1+2i,1-2i.$
• Liczbie pierwszej 13 odpowiadają liczby pierwsze Gaussa $2+3i,2-3i.$
• Liczbie pierwszej 17 odpowiadają liczby pierwsze Gaussa $1+4i,1-4i.$
• Ponieważ moduł iloczynu liczb zespolonych jest równy iloczynowi modułów tych liczb, więc jeśli $u=a+bi$ i $v=c+di,$ to

$(a^{2}+b^{2})\cdot (c^{2}+d^{2})=|u|^{2}\cdot |v|^{2}=|uv|^{2}=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2},$

czyli dla dowolnych liczb całkowitych $a,b,c,d$

$(a^{2}+b^{2})\cdot (c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}.$

Bibliografia

• Gauss C.F.: Arithmetische Untersuchungen. New York-Chelsea: 1965. Brak numerów stron w książce
• Hardy G.H., Wright E.M.: An Introduction of the Theory of Numbers. Wyd. 4. New York: Oxford University Press, 1960. Brak numerów stron w książce
• Шнирельман Л.Г.: Простые числа. Москва-Ленинград: ГИТТЛ, 1940. Brak numerów stron w książce
• Ireland K., Rosen M.: A Classical Introduction to Modern Number Theory. New York Heidelberg Berlin: Springer Verlag, 1982. Brak numerów stron w książce