Pierwiastkowanie

Pierwiastkowanie – operacja odwrotna względem potęgowania, zdefiniowana m. in. dla liczb rzeczywistych i zespolonych. Przy tym dla liczb rzeczywistych wprowadza się dwa pojęcia: pierwiastka arytmetycznego i pierwiastka algebraicznego.

Pierwiastki pojawiają się np. w definicji średniej geometrycznej, w pierwiastkowym kryterium Cauchy’ego na zbieżność szeregu liczbowego albo w definicji odległości Minkowskiego.

Pierwiastki zespolone z jedynki odgrywają istotną rolę w matematyce wyższej. Duża część teorii Galois skupia się na wskazaniu, które z liczb algebraicznych można przedstawić za pomocą pierwiastków, co prowadzi do twierdzenia Abela-Ruffiniego mówiącego, iż ogólny wielomian stopnia piątego bądź wyższego nie może być rozwiązany za pomocą tzw. pierwiastników, tzn. wyrażeń połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia oraz pierwiastków.

Pierwiastek rzeczywisty arytmetyczny

Pierwiastki arytmetyczne definiuje się dla liczb rzeczywistych i w taki sposób, by przypisać liczbom rzeczywistym pierwiastki w sposób wzajemnie jednoznaczny, tj. każdej liczbie rzeczywistej odpowiada dokładnie jeden pierwiastek stopnia $n$-tego, przy czym nie istnieją pierwiastki arytmetyczne dla liczb ujemnych stopnia parzystego, np. pierwiastek drugiego stopnia z -1. Natomiast w dziedzinie liczb zespolonych pierwiastek $n$-tego stopnia z liczby -1 istnieje i ma $n$ wartości (por. dalej); w tym przypadku liczba -1 jest traktowana jako liczba zespolona o zerowej części urojonej. Także definiuje się tzw. pierwiastek algebraiczny w dziedzinie liczb rzeczywistych, który może mieć dwie wartości dla tej samej liczby.

Liczby rzeczywiste nieujemne

Wykresu funkcji pierwiastka arytmetycznego kwadratowego $y={\sqrt {x}}$ - funkcja ta jest zdefiniowana jednoznacznie dla liczb nieujemnych i przypisuje pierwiastkowi wartość nieujemną.

Pierwiastkiem arytmetycznym stopnia $n=1,2,3,4\dots$ z liczby rzeczywistej nieujemnej $x\ (x\geq 0)$ nazywamy taką liczbę rzeczywistą nieujemną $y\ (y\geq 0)$, która podniesiona do potęgi $n$ daje liczbę $x$, tj.

$y^{n}=x$

i zapisuje się w postaci

$y={\sqrt[{n}]{x}}$

W ten sposób każdej nieujemnej liczbie rzeczywistej przypisana zostaje jedna nieujemna liczba rzeczywista, będąca jej pierwiastkiem arytmetycznym.

Liczbę $x$ nazywamy liczbą podpierwiastkową.

Z definicji wynika, że pierwiastek stopnia $n$ z liczby $x$ jest pierwiastkiem równania $y^{n}-x=0$ zmiennej $y$ przy ustalonej wartości $x$.

Np. ${\sqrt[{4}]{16}}=2$ - pierwiastek arytmetyczny czwartego stopnia z $16$, gdyż $2^{4}=16.$

Uwaga: Jeżeli liczbę 16 będziemy traktować jako liczbę zespoloną (o zerowej części urojonej), to otrzymamy cztery pierwiastki ${\sqrt[{4}]{16}}=2,-2,2i,-2i$ (por. dalej - pierwiastki zespolone).

Liczby rzeczywiste ujemne i pierwiastek stopnia nieparzystego

Wykres funkcji sześciennej $y={\sqrt[{3}]{x}}$. Funkcja ta jest rosnąca w całym przedziale liczb rzeczywistych, dlatego każdej liczbie rzeczywistej $x$ odpowiada dokładnie jedna liczba $y={\sqrt[{3}]{x}}$ będąca jej pierwiastkiem sześciennym. W szczególności pierwiastki z liczb ujemnych są liczbami ujemnymi.

Dla liczb rzeczywistych ujemnych $x<0$ pierwiastek stopnia nieparzystego $n$ definiuje się wzorem

$y=-{\sqrt[{n}]{|x|}}$

gdzie $|x|$ - wartość bezwzględna liczby $x$

Np.${\sqrt[{3}]{-8}}=-\ {\sqrt[{3}]{8}}=-2,\quad$ ${\sqrt[{5}]{-2}}=-\ {\sqrt[{5}]{2}}=-1{,}148698354\dots$

Dla nieparzystych $n$ każda liczba rzeczywista ma w ten sposób zdefiniowany pierwiastek rzeczywisty n-tego stopnia.

Nie istnieje zaś rzeczywisty pierwiastek stopnia parzystego z liczby ujemnej, np. ${\sqrt[{4}]{-8}}.$ Jednak w dziedzinie liczb zespolonych ${\sqrt[{4}]{-8}}$ ma aż cztery różne wartości (por. dalej - pierwiastki zespolone).

Symbole pierwiastka arytmetycznego

Pierwiastki zapisuje się zwykle za pomocą symbolu ${\sqrt {^{^{\;}}}}$ (zob. niżej), pierwiastkom stopnia drugiego, trzeciego, czwartego itd. z liczby $x$ odpowiadają kolejno symbole ${\sqrt {x}},{\sqrt[{3}]{x}},{\sqrt[{4}]{x}}$ itp. (zwyczajowo pomija się w zapisie stopień pierwiastka kwadratowego). Notacja ta nie budzi zastrzeżeń w stosunku do pierwiastków arytmetycznych, niemniej może prowadzić do sprzeczności w przypadku pierwiastków algebraicznych, dla których symbole te nie są jednoznaczne, gdyż istnieje wiele pierwiastków algebraicznych danej liczby (por. niżej).

Pierwiastek kwadratowy, sześcienny i inne

Dla $n=2$ pierwiastek arytmetyczny nazywa się pierwiastkiem kwadratowym i oznacza ${\sqrt {x}}$,  pomijając cyfrę 2, zaś dla $n=3$ nazywa się pierwiastkiem sześciennym i oznacza ${\sqrt[{3}]{x}}$; pierwiastki wyższych stopni nazywa się wyłącznie liczbowo, np. „pierwiastek czwartego stopnia”.

Pierwiastkowanie to potęgowanie o ułamkowym wykładniku

Obliczanie pierwiastka $n$-tego stopnia jest operacją odwrotną do potęgowania, dlatego pierwiastkowanie można zapisywać jako potęgowanie o wykładniku ułamkowym, tj.

${\sqrt[{n}]{x}}\equiv x^{1/n}.$

Dowód:

Korzystając z twierdzenia o potędze $(x^{a})^{b}=x^{a\cdot b}$ potęgi mamy:

$(x^{1/n})^{n}=x^{{\frac {1}{n}}\cdot n}=x^{1}=x$

Z drugiej strony, z definicji pierwiastka wynika, że $n$-ta potęga pierwiastka $n$-tego stopnia musi dać liczbę podpierwiastkową $x,$ tj.

$({\sqrt[{n}]{x}})^{n}=x$

Porównując obie równości dostajemy dowodzony wzór.

Twierdzenia - pierwiastki rzeczywiste

Krzywe wybranych pierwiastków i potęg dla $x\in [0,1]$. Przekątna równania $y=x$ jest osią symetrii między każdą krzywą funkcji pierwiastkowej a krzywą jej funkcji odwrotnej.

Jeżeli $x,y$ są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, zaś $n,m$ są dodatnimi liczbami całkowitymi, to:

• ${\sqrt[{n}]{xy}}={\sqrt[{n}]{x}}{\sqrt[{n}]{y}}$
• ${\sqrt[{n}]{x/y}}={\frac {\sqrt[{n}]{x}}{\sqrt[{n}]{y}}}\quad {}$ dla $\ y\neq 0$
• ${\sqrt[{n}]{x^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{x}}\right)^{m}$
• ${\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{x}}}={\sqrt[{m\cdot n}]{x}}$

• gdy $x<y$ to ${\sqrt[{n}]{x}}<{\sqrt[{n}]{y}}$
• Pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej jest albo liczbą naturalną, albo niewymierną; np. dla liczby naturalnej 2:

${\sqrt {2}}=1{,}414213562\dots$

• Im większy stopień pierwiastka z liczby mniejszej od $1$, tym większa jest jego wartość, która zmierza do 1 wraz ze wzrostem stopnia pierwiastka, np. ${\sqrt[{2}]{0.4}}\approx 0{.}6<\quad {\sqrt[{5}]{0.4}}\approx 0{.}8<\quad {\sqrt[{100}]{0.4}}\approx 0{.}99$
• Im większy stopień pierwiastka z liczby wiekszej od $1$, tym mniejsza jest jego wartość, która zmierza do $1$ wraz ze wzrostem stopnia pierwiastka, np. ${\sqrt {2}}\approx 1{,}4>\quad {\sqrt[{3}]{2}}\approx 1{,}3>\quad {\sqrt[{100}]{2}}\approx 1{,}007$

• Pierwiastki stopni całkowitych z liczb niewymiernych są niewymierne, bo liczba wymierna podniesiona do potęgi o dowolnym wykładniku całkowitym daje liczbę wymierną.

Pierwiastek rzeczywisty algebraiczny

Pierwiastkiem algebraicznym stopnia $n$ (gdzie $n=1,2,\dots$) z liczby rzeczywistej $x$ nazywamy taką liczbę rzeczywistą $y$ (dodatnią lub ujemną lub równą zero), która podniesiona do potęgi $n$ daje liczbę $x$, tj.

$y^{n}=x$

Pierwiastek algebraiczny z liczb rzeczywistych ujemnych stopnia parzystego nie istnieje, podobnie jak pierwiastek arytmetyczny stopnia parzystego, np. pierwiastek kwadratowy z $-8$. Ale istnieje pierwiastek algebraiczny dla dowolnych liczb rzeczywistych stopnia nieparzystego i ma zawsze jedną wartość, np. pierwiastek 3-go stopnia z $-8$ wynosi $-2$. Zaś dla liczb rzeczywistych dodatnich istnieją zawsze dwa pierwiastki algebraiczne stopnia parzystego. Np. dla liczby $4$ istnieją dwie takie liczby: $2$ oraz $-2$, gdyż $2^{2}=4$ oraz $(-2)^{2}=4$ - obie te liczby nazywamy pierwiastkami kwadratowymi algebraicznymi z liczby $4$.

Operacja znajdowania pierwiastka algebraicznego w dziedzinie liczb rzeczywistych przypisuje więc danej liczbie jedną wartość lub dwie wartości, inaczej niż dla pierwiastka arytmetycznego, który przyjmuje zawsze jedną wartość (oraz - tak jak w przypadku pierwiastka arytmetycznego - wyklucza przypisywanie pierwiastków stopnia parzystego liczbom ujemnym).

Pierwiastek zespolony

Df. Pierwiastkiem zespolonym stopnia $n=1,2,3,4\dots$ z liczby zespolonej $z$ nazywa się dowolną liczbę $w$ spełniającą równość

$w^{n}=z$

Każda niezerowa liczba zespolona $z$ (w tym liczba rzeczywista, tj. zespolona o zerowej części urojonej) ma $n$ różnych zespolonych pierwiastków $n$-tego stopnia.

Tw. Aby wyznaczyć pierwiastki zespolone liczby zespolonej $z=a+ib$, przedstawia się ją w postaci trygonometrycznej:

$z=|z|\left(\cos \phi +i\sin \phi \right)$

gdzie:

$|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ - moduł

$\phi =\arctan(b/a)\in (-\pi ,\pi >$ - argument główny

Wtedy pierwiastki $n$-go stopnia określa wzór de Moivre’a:

$w_{(k)}={\sqrt[{n}]{|z|}}\left(\cos {\tfrac {\phi +2k\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {\phi +2k\pi }{n}}\right),$

gdzie $k=0,1,2,\dots ,n-1$ oznacza numer pierwiastka (symbol ${\sqrt[{n}]{\;}}$ oznacza tu pierwiastek arytmetyczny).

Pierwiastki 3-go stopnia z liczby $1+i$ na płaszczyźnie zespolonej tworzą wierzchołki 3-kata foremnego.

Interpretacja geometryczna: W interpretacji geometycznej punkty przedstawiajace pierwiastki stopnia $n$ liczby zespolonej tworzą wierzchołki $n$-kata foremnego mającego środek w początku układu współrzędnych, wpisanego w okrąg o promieniu ${\sqrt[{n}]{|z|}},$ przy czym wektor wodzący wierzchołka o indeksie 0 jest pod katem $\phi /n$ do osi rzeczywistej układu współrzędnych. Ilustrują to przykłady.

Przykłady

Przykład 1: Pierwiastek kwadratowy z $z=i$

Dwa pierwiastki zespolone 2-go stopnia dla $z=i$

Niech będzie dana liczba czysto urojona $z=i.$ Liczba ta ma zerową część rzeczywistą, tj. $z=0+1\cdot i$ . Mamy więc moduł $|z|=1$, argument główny $\phi =\pi /2$, stąd postać trygonometryczna $z=i=\cos {\tfrac {\pi }{2}}+i\sin {\tfrac {\pi }{2}}.$

Z wzoru Moivre'a mamy pierwiastki 2-go stopnia z $z=i$

$w_{0}=\cos {\tfrac {\pi }{4}}+i\sin {\tfrac {\pi }{4}}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}+i{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$

$w_{1}=\cos {\tfrac {3\pi }{2}}+i\sin {\tfrac {3\pi }{2}}=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}-i{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$

Pierwiastki te są leżą po przeciwnych stronach początku układu współrzędnych.

Przykład 2: Pierwiastki 2-go stopnia z -1

Niech będzie dana liczba $z=-1.$ W dziedzinie liczb rzeczywistych nie istnieje pierwiastek algebraiczny z liczby ujemnej stopnia parzystego. Jednak w dziedzinie liczb zespolonych liczba -1 jest liczbą o zerowej części urojonej i ma de facto postać $z=-1+0\cdot i$ . Mamy więc moduł $|z|=1$, argument główny $\phi =\pi$, stąd postać trygonometryczna $z=-1=\cos \pi +i\sin \pi .$

Z wzoru Moivre'a mamy pierwiastki 2-go stopnia z $z=-1$

$w_{0}=\cos {\tfrac {\pi }{2}}+i\sin {\tfrac {\pi }{2}}=i$

$w_{1}=\cos {\tfrac {3\pi }{2}}+i\sin {\tfrac {3\pi }{2}}=-i$

W dziedzinie zespolonej istnieją wiec dwa pierwiastki kwadratowe z $z=-1:+i,-i.$ (Każda liczba zespolona jest punktem na płaszczyźnie, w tym -1, sytuacja jest więc inna, niż w przypadku obliczania pierwiastków w dziedzinie rzeczywistej, gdzie liczby są punktami na prostej).

Trzy pierwiastki zespolone 3-go stopnia dla $z=-1$

Przykład 3: Pierwiastki 3-go stopnia z -1

Aby obliczyć pierwiastki 3-go stopnia korzystamy z postaci trygonometrycznej $z=-1=\cos \pi +i\sin \pi$ oraz wzoru Moivre'a:

$w_{0}=\cos {\tfrac {\pi }{3}}+i\sin {\tfrac {\pi }{3}}={\tfrac {1}{2}}+i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$

$w_{1}=\cos {\tfrac {3\pi }{3}}+i\sin {\tfrac {3\pi }{3}}=-1$

$w_{2}=\cos {\tfrac {4\pi }{3}}+i\sin {\tfrac {4\pi }{3}}={\tfrac {1}{2}}-i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$

Przykłady powyższe ilustrują ogólna prawidłowość, iż każda liczba zespolona $z$ ma $n$ pierwiastków $n$-tego stopnia - w tym liczby zespolone czysto rzeczywiste, które nie mają pierwiastków algebraicznych w dziedzinie liczb rzeczywistych.

Twierdzenia - pierwiastki zespolone. Subtelność funkcji wielowartościowych

W dziedzinie pierwiastków zespolonych obowiązują te same twierdzenia, co w dziedzinie liczb rzeczywistych, ale posługiwanie się nimi wymaga uwagi ze względu na wielowartościowość pierwiastków zespolonych. Np. zakładając słuszność twierdzenia ${\sqrt[{n}]{z_{1}\cdot z_{2}}}\ ={\sqrt[{n}]{z}}_{1}{\sqrt[{n}]{z}}_{2}$ otrzymamy

${\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {-1\cdot -1}}$

Ale

${\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=i\cdot i=i^{2}=-1$

zaś

${\sqrt {-1\cdot -1}}={\sqrt {1}}=1$

- czyli sprzeczność. Sprzeczność wynika stąd, że w obliczeniach nie uwzględniono faktu, iż pierwiastki kwadratowe z liczb ${\sqrt {-1}}$ oraz ${\sqrt {1}}$ w dziedzinie liczb zespolonych mają po dwie wartości:

${\sqrt {-1}}={\begin{cases}+i\\-i\end{cases}}\quad$ oraz $\quad {\sqrt {1}}={\begin{cases}+1\\-1\end{cases}}$

Wtedy mamy:

${\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\begin{cases}i\cdot i=-1\\{\text{lub}}\\i\cdot (-i)=1\end{cases}}\quad$

czyli dostajemy dwa wyniki, identyczne jak dla pierwiastka z 1.

Historia

Początki symbolu pierwiastka √ są dość niejasne. Niektóre źródła podają, że symbol został wprowadzony przez Arabów, a po raz pierwszy został on użyty przez Abū al-Hasana ibn Alīego al-Qalasādīego (1421–1486) i został wyprowadzony z arabskiej litery ج, pierwszej litery słowa جذر (dżazr) oznaczającego „korzeń”. Wielu, w tym Leonhard Euler sądziło, że pochodzi on od litery r, pierwszej litery łacińskiego słowa radix (również oznaczającego „korzeń”), które oznacza to samo działanie matematyczne.

Nieużywany w języku polskim termin surd, traktowany niekiedy jako nazwa symbolu √, pochodzi z czasów al-Khwārizmīego (ok. 825), który liczby wymierne i niewymierne nazywał odpowiednio „słyszalnymi” i „niesłyszalnymi”. W związku z tym arabskie assam („głuchy, głupi”) oznaczające liczbę niewymierną było później tłumaczone na łacinę jako surdus („głuchoniemy”). Gerard z Cremony (ok. 1150), Fibonacci (1202), a potem Robert Recorde (1551) używali tego terminu w odniesieniu do nierozwiązanych pierwiastków niewymiernych.

Symbolu √ użyto po raz pierwszy w druku bez vinculum (poziomej kreski nad liczbami wewnątrz symbolu pierwiastka) w 1525 roku w Die Coss autorstwa niemieckiego matematyka Christoffa Rudolffa. Vinculum wprowadził Kartezjusz w Geometrii (1637) do zaznaczania, jakie wyrażenie algebraiczne podlega pierwiastkowaniu.

Stosowana przez Kartezjusza notacja dla pierwiastków stopnia wyższego niż dwa nie przyjęła się (np. ${\sqrt[{3}]{x}}$ Kartezjusz zapisywał jako ${\sqrt {C.x}}$). Współczesną notację stopnia pierwiastka zaproponował Albert Girard w pracy z 1629 roku; utrwaliła się ona w pierwszej połowie XVIII w.

Typografia

Niżej przedstawiono kody znaków symboli pierwiastka. W notacji angielskiej znak pierwiastka występuje bez wiążącej kreski górnej.

Znak	Nazwa polska	Nazwa unikodowa	Unikod	Encja HTML			URL
				dec	hex	name
√	pierwiastek kwadratowy	SQUARE ROOT	U+221A	√	√	√	%E2%88%9A
∛	pierwiastek sześcienny	CUBE ROOT	U+221B	∛	∛	–	%E2%88%9B
∜	pierwiastek czwartego stopnia	FOURTH ROOT	U+221C	∜	∜	–	%E2%88%9C
‾	kreska wiążąca górna	OVERLINE	U+203E	‾	‾	‾	%E2%80%BE
‾	kreska wiążąca górna dostawna	COMBINING OVERLINE	U+0305	̅	̅	–	%00%CC%85

W LaTeX-u:

• pierwiastek ${\sqrt {x}}$ zapisywany jest jako \sqrt x;
• pierwiastek ${\sqrt[{k}]{x}}$ zapisywany jest jako \sqrt[k] x.

Zobacz też

• pierwiastek kwadratowy
• pierwiastek sześcienny
• pierwiastki zespolone z jedynki
• wzór de Moivre'a
• algorytm Newtona numerycznego obliczania pierwiastka n-tego stopnia (dla liczby rzeczywistej)

Inne:

• Pomoc Wikipedii: Pierwiastki we wzorach matematycznych - nt. edycji wzorów za pomocą kodu

Bibliografia

• I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny Matematyka, PWN, Warszawa 2019, str. 578-579.
• T. Trajdos, Matematyka dla inżynierów, PWN, Warszawa 1974, str. 412-416.