Funkcja ograniczona: Różnice pomiędzy wersjami

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
[wersja nieprzejrzana][wersja nieprzejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
m szablon, kat.
połączenie z ciąg ograniczony - tylko jedno zdanie było tylko dla ciągów
Linia 1: Linia 1:
{{Funkcje matematyczne}}
{{Funkcje matematyczne}}
'''Funkcja ograniczona''' to funkcja, której wszystkie wartości należą do pewnego [[przedział|przedziału skończonego]].
'''Funkcja ograniczona''' to [[funkcja (matematyka)|funkcja]], której wszystkie wartości należą do pewnego [[przedział (matematyka)|przedziału skończonego]].


Funkcję nie będącą ograniczoną nazywa się '''nieograniczoną'''. Zdefiniować ją można inaczej: jest to funkcja, której [[zbiór wartości funkcji|zbiór wartości]] nie zawiera się w żadnym skończonym przedziale.
Funkcję, której przeciwdziedziną jest [[przestrzeń metryczna]] nazywamy ograniczoną, gdy wszystkie jej wartości należą do pewnej kuli.


Funkcję, której przeciwdziedziną jest [[przestrzeń metryczna]] nazywamy ograniczoną, gdy wszystkie jej wartości należą do pewnej [[kula|kuli]]. Natomiast funkcję nazywamy nieograniczoną, gdy jej zbiór wartości nie zawiera się w żadnej kuli.
Przykłady: funkcje ''sin'' i ''cos'' są ograniczone &ndash; wszystkie ich wartości należą do przedziału [-2, 2] (oczywiście, również do przedziału [-1, 1]). Funkcje ''y = x'' oraz ''y = x''<sup>2</sup> nie są ograniczone.

Funkcję nazwiemy '''ograniczoną z góry''' jeżeli wszystkie jej wartości są mniejsze od pewnej ustalonej liczby. Analogicznie: funkcja jest '''ograniczona z dołu''' jeżeli wszystkie jej wartości są większe od pewnej ustalonej liczby. Zatem, funkcja jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie ograniczony z góry i z dołu.

==Ciągi ograniczone==
Szczególnym przypadkiem funkcji ograniczonych są ciągi ograniczone.

Tylko ciąg ograniczony może mieć skończoną [[granica ciągu|granicę]].

==Przykłady==
* funkcje ''sin'' i ''cos'' są ograniczone &ndash; wszystkie ich wartości należą do przedziału [-2, 2] (oczywiście, również do przedziału [-1, 1]). Funkcje <math>y = x, y = x^2</math> (ogólnie - wszystkie niestałe [[wielomian]]y) nie są ograniczone.
* ciąg 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,... jest ograniczony, bo wszystkie jego wyrazy należą do przedziału <math>[0, 1]</math>.
* ciąg 1, 2, 3, 4,... , choć ograniczony z dołu, nie jest ograniczony (bo nie jest ograniczony z góry).
* ciąg -1, -3, -5, -7, ... nie jest ograniczony z dołu, jest natomiast ograniczony z góry.

Zobacz też: [[przegląd zagadnień z zakresu matematyki]]

[[Kategoria:Topologia]]
[[Kategoria:Analiza matematyczna]]


Zobacz też: [[przegląd zagadnień z zakresu matematyki]].
[[Kategoria:Funkcje matematyczne|Ograniczona]]
[[Kategoria:Funkcje matematyczne|Ograniczona]]

Wersja z 21:13, 14 gru 2005

Funkcja ograniczona to funkcja, której wszystkie wartości należą do pewnego przedziału skończonego.

Funkcję nie będącą ograniczoną nazywa się nieograniczoną. Zdefiniować ją można inaczej: jest to funkcja, której zbiór wartości nie zawiera się w żadnym skończonym przedziale.

Funkcję, której przeciwdziedziną jest przestrzeń metryczna nazywamy ograniczoną, gdy wszystkie jej wartości należą do pewnej kuli. Natomiast funkcję nazywamy nieograniczoną, gdy jej zbiór wartości nie zawiera się w żadnej kuli.

Funkcję nazwiemy ograniczoną z góry jeżeli wszystkie jej wartości są mniejsze od pewnej ustalonej liczby. Analogicznie: funkcja jest ograniczona z dołu jeżeli wszystkie jej wartości są większe od pewnej ustalonej liczby. Zatem, funkcja jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie ograniczony z góry i z dołu.

Ciągi ograniczone

Szczególnym przypadkiem funkcji ograniczonych są ciągi ograniczone.

Tylko ciąg ograniczony może mieć skończoną granicę.

Przykłady

  • funkcje sin i cos są ograniczone – wszystkie ich wartości należą do przedziału [-2, 2] (oczywiście, również do przedziału [-1, 1]). Funkcje (ogólnie - wszystkie niestałe wielomiany) nie są ograniczone.
  • ciąg 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,... jest ograniczony, bo wszystkie jego wyrazy należą do przedziału .
  • ciąg 1, 2, 3, 4,... , choć ograniczony z dołu, nie jest ograniczony (bo nie jest ograniczony z góry).
  • ciąg -1, -3, -5, -7, ... nie jest ograniczony z dołu, jest natomiast ograniczony z góry.

Zobacz też: przegląd zagadnień z zakresu matematyki