Zbiór otwarty
Zbiór otwarty – w danej przestrzeni topologicznej dowolny element rodziny
Dopełnienie zbioru otwartego nazywane jest zbiorem domkniętym. Istnieją zbiory, które są jednocześnie i otwarte i domknięte (tzw. zbiory domknięto-otwarte), np. zbiór pusty i cała przestrzeń
W topologii ogólnej funkcje, które zachowują otwartość zbioru poprzez przeciwobrazy, nazywane są funkcjami ciągłymi, natomiast funkcje, które zachowują otwartość poprzez obrazy, nazywane są odwzorowaniami otwartymi.
Własności zbiorów otwartych
[edytuj | edytuj kod]Poniższe trzy własności zbiorów otwartych są powtórzeniem aksjomatów przestrzeni topologicznej [1]:
- Zbiór pusty i cała przestrzeń są zbiorami otwartymi (tj. należą do ).
- Suma mnogościowa dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym (tj. należy do ).
- Część wspólna skończonej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym (tj. należy do ).
Nieskończony iloczyn zbiorów otwartych może nie być zbiorem otwartym. Np. na prostej rzeczywistej z topologią standardową jako zbiory otwarte przyjmuje się przedziały otwarte. Iloczyn nieskończony przedziałów otwartych może być przedziałem domkniętym:
W klasie przestrzeni metrycznych zbiory otwarte można scharakteryzować jako te i tylko te, które wraz z każdym swoim punktem zawierają pewną kulę otwartą o środku w tym punkcie[2].
Niech Jeśli dla każdego punktu istnieje zbiór otwarty spełniający to też jest otwarty.
Baza i podbaza topologii
[edytuj | edytuj kod]Rodzina wszystkich zbiorów otwartych tworzy topologię przestrzeni, często jednak w tej rodzinie wyróżnia podrodziny:
- baza przestrzeni topologicznej – podrodzina topologii, z której za pomocą sumowania mnogościowego elementów bazy można otrzymać dowolny zbiór otwarty,
- Podbaza przestrzeni topologicznej – podrodzina bazy, z której za pomocą skończnego mnożenia mnogościowego elementów podbazy można otrzymać dowolny zbiór z bazy.
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Neighborhood_illust2.svg/200px-Neighborhood_illust2.svg.png)
- Na prostej ze standardową topologią zbiorami otwartymi są przedziały otwarte.
Np. przedział jest otwarty, gdyż dla każdego punktu istnieje „kula otwarta” o środku w zawarta w np. możemy przyjąć równe połowie mniejszej z odległości danego punktu od brzegów przedziału, Z drugiej strony przedział nie jest zbiorem otwartym, bo dla punktów brzegowych każde ich otoczenie zawiera punkty spoza przedziału
Zgodnie z aksjomatami suma dowolnej rodziny przedziałów otwartych jest zbiorem otwartym. Jest też odwrotnie – każdy zbiór otwarty na prostej jest sumą pewnych przedziałów otwartych, co oznacza, że rodzina przedziałów otwartych jest bazą tej przestrzeni. - Na płaszczyźnie euklidesowej zbiorem otwartym jest np. prostokąt bez brzegu
- zaś prostokąt
- nie jest otwarty w gdyż dla punktów brzegowych prostokąta nie istnieją zbiory otwarte w nim zawarte (prostokąt ten jest de facto domknięty, zaś jego dopełnienie jest zbiorem otwartym).
- Na prostej z topologią strzałki zbiorami otwartymi są przedziały postaci
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009, s. 71–72.
- ↑ Zbiór otwarty, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-09-15] .
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009.