Funkcja dzeta Riemanna: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Nie podano opisu zmian |
|||
Linia 58: | Linia 58: | ||
: <math>\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots = \frac{\pi^2}{6}</math> |
: <math>\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots = \frac{\pi^2}{6}</math> |
||
:<math> \approx 1{,}6449</math>. |
|||
: <math>\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \ldots = \frac{\pi^4}{90}</math> |
: <math>\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \ldots = \frac{\pi^4}{90}</math> |
||
Linia 64: | Linia 65: | ||
: <math>\zeta(8) = 1 + \frac{1}{2^8} + \frac{1}{3^8} + \ldots = \frac{\pi^8}{9450}</math> |
: <math>\zeta(8) = 1 + \frac{1}{2^8} + \frac{1}{3^8} + \ldots = \frac{\pi^8}{9450}</math> |
||
== Linki zewnętrzne == |
== Linki zewnętrzne == |
Wersja z 15:17, 27 lut 2013
Funkcja ζ (dzeta) Riemanna – jedna z funkcji specjalnych określona wzorem:
Szereg ten jest zbieżny dla takich , których część rzeczywista jest większa od 1.
Za pomocą metod analizy matematycznej funkcję tę daje się rozszerzyć na wszystkie liczby zespolone, poza . Przyjmuje ona wtedy postać:
Aby znaleźć wartość funkcji dzeta dla o części rzeczywistej mniejszej od 1 można posłużyć się również wzorem rekurencyjnym:
gdzie to funkcja Γ (gamma) Eulera.
Z funkcją dzeta związany jest jeden z najważniejszych problemów współczesnej matematyki – Hipoteza Riemanna.
Wykres funkcji ζ
Dziedzina liczb rzeczywistych
Dziedzina liczb zespolonych
Wykres funkcji ζ(z) na płaszczyźnie zespolonej uzyskany techniką kolorowania dziedziny.
Ważne wzory związane z funkcją ζ
Związek funkcji dzeta z liczbami pierwszymi (dla ):
gdzie oznacza ciąg kolejnych liczb pierwszych.
Związek z liczbami Bernoulliego:
dla każdej liczby parzystej dodatniej , gdzie to -ta liczba Bernoulliego. Ponadto dla liczb całkowitych ujemnych :
Zatem funkcja ζ przyjmuje wartość 0 dla każdej ujemnej liczby parzystej.
Związki z funkcjami teorioliczbowymi:
gdzie to funkcja π (pi) określająca liczbę liczb pierwszych nie większych od .
gdzie to funkcja τ (tau), określająca liczbę dzielników liczby .
Niektóre wartości
- .
Linki zewnętrzne
- Funkcja dzeta Riemanna (ang.) w encyklopedii MathWorld