Twierdzenie o ciągach jednomonotonicznych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie o ciągach jednomonotonicznych – jedna z podstawowych nierówności w matematyce. Można za jej pomocą dowieść wielu innych nierówności, takich jak nierówności między średnimi, nierówność Cauchy’ego-Schwarza, nierówność Czebyszewa.

Twierdzenie[edytuj]

Niech ciągi oraz liczb rzeczywistych będą jednomonotoniczne, tzn. takie, że dla każdej pary naturalnych i, j spełniających , zachodzą nierówności:

  lub  

Wówczas prawdziwe są nierówności:

gdzie jest dowolną permutacją ciągu .

Twierdzenie to jest prawdziwe również dla więcej niż dwóch ciągów, tak długo, jak są one tej samej monotoniczności.

Dowód[edytuj]

Dowód twierdzenia korzysta z zasady indukcji matematycznej. Wpierw udowodnimy pierwszą nierówność.

Twierdzenie jest niewątpliwie prawdziwe dla n=1, ponieważ jest tylko jedna permutacja ciągu jednoelementowego, wobec czego:

Udowodnijmy zatem że dla dowolnego naturalnego n i dwóch ciągów rzeczywistych , spełniających założenia prawdziwym jest, że jeśli zachodzi:

to zachodzi również:

(gdzie jest permutacją , a permutacją )

Dla jest to oczywiste, ponieważ można ją uzyskać poprzez obustronne dodanie wyrażenia w tezie indukcyjnej.

W przeciwnym wypadku istnieją takie naturalne i i j nie większe niż n, że dla pewnych permutacji:

a zgodnie z założeniami

więc:

z czego

więc oczywiście

Co kończy dowód pierwszej nierówności. Druga nierówność wynika z zastosowania pierwszej do ciągu .