Funkcja Carmichaela

Funkcja λ (lambda) Carmichaela – funkcja określona dla dodatnich liczb całkowitych, której wartością dla danej liczby $n$ jest najmniejsza liczba, taka, że podniesiona do jej potęgi liczba względnie pierwsza z $n$ przystaje do $1\operatorname {mod} n,$ przy czym $\lambda (0)=0$.

$\forall _{k<n}\left[{\mbox{NWD}}(k,n)=1\Rightarrow k^{\lambda (n)}\operatorname {mod} n=1\right],$

gdzie NWD to największy wspólny dzielnik, a „$\operatorname {mod} n$” – reszta z dzielenia przez $n.$

Definicja formalna

Formalnie, dla danej liczby $n,$ $\lambda \ (n)$ to najmniejsza taka liczba, że:

$\forall _{k<n,\ NWD(k,n)=1}\ k^{\lambda (n)}\operatorname {mod} n=1,$

gdzie NWD to największy wspólny dzielnik, a „$\operatorname {mod} n$” – reszta z dzielenia przez $n.$

Wychodząc od pojęcia grupy, pojęcie funkcji Carmichaela można wprowadzić dużo naturalniej. Mianowicie, jeżeli rozważymy multiplikatywną grupę klas reszt modulo n $(Z_{n}^{*})$ z działaniem mnożenia modulo n to:

$\lambda (n)=\min\{k:\forall _{x\in Z_{n}^{*}}\ x^{k}\equiv 1\},$

przy czym powyższe potęgowanie należy rozumieć jako składanie działania z grupy.

Własności

Poniżej $\lambda$ – oznacza funkcję Carmichaela, $\phi$ – funkcję Eulera.

Ścisły wzór

Ścisły wzór na funkcję λ jest następujący (w poniższym wzorze p_i to dla różnych indeksów różne liczby pierwsze, a α_i – liczby naturalne):

$\lambda (n)=\left\{{\begin{array}{cl}\phi (n)&n=p_{i}^{\alpha _{i}},\ p_{i}>2\lor \alpha _{i}<3\\{\frac {\phi (n)}{2}}&n=2^{\alpha _{i}},\ \alpha _{i}>2\\NWW{\big (}\lambda (p_{1}^{\alpha _{1}}),\dots ,\lambda (p_{k}^{\alpha _{k}}){\big )}&n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}\end{array}}\right.,$

przy czym NWW to najmniejsza wspólna wielokrotność.

Oszacowania

Dla dowolnej liczby naturalnej $k$ prawdziwe jest oszacowanie górne:

$\lambda (k)\leqslant \phi (k).$

Dla dowolnej stałej $c<{\frac {1}{\ln {2}}}$, dla dostatecznie dużych $n$ zachodzi nietrywialne ograniczenie:

$\lambda (n)>\ln(n)^{c\ln \ln \ln {n}}$.

Z drugiej strony dla pewnej stałej $c'$ i nieskończenie wielu $n$ zachodzi

$\lambda (n)<\ln(n)^{c'\ln \ln \ln {n}}.$

Wartości dla potęg liczby dwa

Dla potęg liczby dwa zachodzą następujące równości:

$\lambda (2^{n})=\phi (2^{n})$ dla $0\leqslant n\leqslant 2,$

$\lambda (2^{n})=2^{n-2}={\frac {\phi (2^{n})}{2}}$ dla $n\geqslant 3.$

Wartość dla liczb pierwszych

Jeżeli $p$ – liczba pierwsza to zachodzi:

$\lambda (p)=\phi (p)=p-1.$

Wartość dla potęg nieparzystych liczb pierwszych

Jeżeli $p$ – nieparzysta liczba pierwsza a $k$ – liczba naturalna to zachodzi:

$\lambda (p^{k})=p^{k-1}(p-1)=\phi (p^{k}).$

Wartość dla iloczynu liczb względnie pierwszych

Niech $p,$$q$ – dwie liczby naturalne; wówczas:

$NWD(p,q)=1\Rightarrow \lambda (pq)=NWW{\big (}\lambda (p),\lambda (q){\big )}.$

Twierdzenie Carmichaela – związek funkcji z Małym Twierdzeniem Fermata

tzw. Twierdzenie Carmichaela mówi, że następujące dwa warunki są równoważne:

• $\lambda (n)\ |\ (n-1),$
• $\forall _{a\in \mathbb {N} }\ NWD(a,n)=1\Rightarrow a^{n-1}\equiv 1\ (\operatorname {mod} n).$

Przykład zastosowania funkcji Carmichaela

Problem: obliczyć $3^{2000}\operatorname {mod} 248.$

Rozwiązanie: ponieważ 248 i 3 są względnie pierwsze (248 nie dzieli się przez 3, bo 2+4+8=14 a 1+4=5 → cecha podzielności przez 3), to możemy skorzystać z właściwości funkcji Carmichaela. λ(248)=NWW(λ(8),λ(31))=NWW(4, 30)=30. Tak więc – $3^{30}\operatorname {mod} 248=1.$ Co więcej – ponieważ 30 „mieści się” w 2000 66 razy to zachodzi:

$3^{2000}\operatorname {mod} 248=((3^{30})^{66})(3^{20})\operatorname {mod} 248=(1^{66})(3^{20})\operatorname {mod} 248=3^{20}\operatorname {mod} 248,$

co jest już do policzenia znacznie prostsze. Jeżeli nie dysponujemy kalkulatorem to możemy skorzystać z prostej właściwości – mianowicie 3⁵=243 co, rozważając działanie $\operatorname {mod} 248$ jest równoważne wartości $-5(243=248-5).$ Czyli:

$3^{20}\operatorname {mod} 248=((3^{5})^{4})\operatorname {mod} 248=(-5)^{4}\operatorname {mod} 248=25^{2}\operatorname {mod} 248=625\operatorname {mod} 248=129.$

Funkcja Carmichaela i funkcja Eulera

Ponieważ patrząc w odpowiedni sposób na funkcję Eulera, obie ww. funkcje pełnią podobną funkcję (tzn. są uniwersalnym wykładnikiem, dającym dla podstaw względnie pierwszych z argumentem, wartość przystającą do 1), to warto zobaczyć jaki jest realny zysk wartości. Np.

$\phi (105)=\phi (3\cdot 5\cdot 7)=\phi (3)\phi (5)\phi (7)=2\cdot 4\cdot 6=48,$

$\lambda (105)=NWW{\big (}\lambda (3),\lambda (5),\lambda (7){\big )}=NWW(2,4,6)=12.$

Oszczędność jest więc wyraźna.

Wartości dla 25 początkowych liczb naturalnych

1.	2.	3.	4.	5.	6.	7.	8.	9.	10.	11.	12.	13.	14.	15.	16.	17.	18.	19.	20.	21.	22.	23.	24.	25.
1	1	2	2	4	2	6	2	6	4	10	2	12	6	4	4	16	6	18	4	6	10	22	2	20

Wykres funkcji dla przedziału <1;23>

Wartości dla 7 najmniejszych liczb Carmichaela

561.	1105.	1729.	2465.	2821.	6601.	8911.
80	48	36	112	60	1320	198

Zobacz też

• chińskie twierdzenie o resztach
• funkcja φ Eulera
• liczby Carmichaela
• małe twierdzenie Fermata
• RSA

Bibliografia

• Paul Erdős, Carl Pomerance, Eric Schmutz, Carmichael’s lambda function, Acta Arithmetica, vol. 58, s. 363–385, 1991.
• John Friedlander, Carl Pomerance, Igor E. Shparlinski, Period of the power generator and small values of the Carmichael function, Mathematics of Computation, vol. 70 no. 236, s. 1591–1605, 2001.