Iloczyn nieskończony

Iloczyn nieskończony – iloczyn nieskończenie wielu liczb rzeczywistych lub zespolonych; pojęcie analogiczne do szeregu.

Ustalenia wstępne

Jeżeli $p_{1},p_{2},\dots ,p_{n},\dots$ jest ciągiem liczb, to liczby $P_{1}=p_{1},P_{2}=p_{1}p_{2},\dots ,P_{n}=p_{1}p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{n}$ nazywamy iloczynami częściowymi tego ciągu. Symbol

$\prod _{n=1}^{\infty }p_{n}=p_{1}p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{n}\ldots$

nazywamy iloczynem nieskończonym ciągu $p_{n},$ natomiast granicę (oznaczaną również tym samym symbolem) ciągu iloczynów częściowych

$\lim _{n\to \infty }P_{n}=\prod _{n=1}^{\infty }p_{n}$

(skończoną bądź nie) nazywamy wartością tego iloczynu.

Jeżeli iloczyn nieskończony ma granicę skończoną i różną od zera, to nazywamy go zbieżnym – w przeciwnym wypadku rozbieżnym. Jak łatwo zauważyć, wystarczy by jeden z czynników iloczynu był zerowy, aby wartość iloczynu była zerem, tj. iloczyn nieskończony był zbieżny.

Związek z szeregami

Podobnie jak w przypadku szeregów, odrzucenie skończonej liczby wyrazów w ciągu $p_{n}$ nie wpływa na zbieżność iloczynu nieskończonego tego ciągu (o ile wśród odrzucanych wyrazów nie ma liczby 0). Można podać także analogiczny warunek konieczny zbieżności: Jeżeli iloczyn nieskończony ciągu $p_{n}$ jest zbieżny, to

$\lim _{n\to \infty }p_{n}=1.$

Zbieżność szeregu a zbieżność iloczynu nieskończonego

Iloczyn nieskończony ciągu $p_{n}$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg

$\sum _{n=1}^{\infty }\ln p_{n}.$

Jeżeli warunek ten jest spełniony i $L$ jest sumą szeregu, to wartość iloczynu nieskończonego wynosi $e^{L}.$

Można podać też inne kryteria zbieżności:

• Jeżeli dla dostatecznie dużych $n$ wyrazy ciągu liczbowego $a_{n}$ są stałego znaku, to iloczyn nieskończony

$\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.$

• Jeżeli zbieżne są szeregi: $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ i $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{2},$ to zbieżny jest iloczyn $\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n}).$

Iloczyn nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeśli zbieżny jest iloczyn $\prod _{n=1}^{\infty }{\big (}1+|a_{n}|{\big )}.$

Warunek Cauchy’ego dla iloczynów: Iloczyn $\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall \epsilon >0\exists n_{0}\forall n>n_{0}\forall k\in \mathbb {N} \left|{\frac {P_{n+k}}{P_{n}}}-1\right|<\epsilon .$

Wniosek: Iloczyn $\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})$ jest bezwzględnie zbieżny $\Leftrightarrow$ Szereg $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ jest bezwzględnie zbieżny.

Rozwinięcia funkcji w iloczyny nieskończone

$\sin z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)$ – szczególny przypadek – iloczyn Wallisa:

${\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot \ldots =\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}$

$\cos z=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {4z^{2}}{\pi ^{2}(2n-1)^{2}}}\right)$

$\sinh z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)$

$\cosh z=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {4z^{2}}{\pi ^{2}(2n-1)^{2}}}\right)$

$\zeta (z)=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-p_{n}^{-z})}}$ – funkcja ζ Riemanna, $p_{n}$ oznacza ciąg liczb pierwszych

${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \ldots$ – iloczyn Vièta

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966. Brak numerów stron w książce

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Infinite Product, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-05-31].
• Infinite product (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-05-31].