Funkcja dzeta Riemanna: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja nieprzejrzana] | [wersja przejrzana] |
funkcja zeta jest zdefiniowana jako *rozszerzenie* analityczne sumy, nie jako suma |
drobne redakcyjne |
||
Linia 1: | Linia 1: | ||
{{Funkcje matematyczne}} |
{{Funkcje matematyczne}} |
||
'''Funkcja ζ '''(dzeta)''' Riemanna''' – [[funkcje specjalne|funkcja specjalna]] zdefiniowana jako [[ |
'''Funkcja ζ '''(dzeta)''' Riemanna''' – [[funkcje specjalne|funkcja specjalna]] zdefiniowana jako [[przedłużenie analityczne]] poniższej sumy: |
||
: <math>{\zeta}( z ) = \sum_{n = 1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} \right)^z</math> |
: <math>{\zeta}( z ) = \sum_{n = 1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} \right)^z</math> |
Wersja z 00:04, 14 lut 2016
Funkcja ζ (dzeta) Riemanna – funkcja specjalna zdefiniowana jako przedłużenie analityczne poniższej sumy:
Szereg ten jest zbieżny dla takich , których część rzeczywista jest większa od 1.
Za pomocą metod analizy matematycznej sumę tę daje się rozszerzyć na wszystkie liczby zespolone, poza . Przyjmuje ona wtedy postać:
Aby znaleźć wartość funkcji dzeta dla o części rzeczywistej mniejszej od 1, można posłużyć się również wzorem rekurencyjnym:
gdzie to funkcja Γ (gamma) Eulera.
Z funkcją dzeta związany jest jeden z najważniejszych problemów współczesnej matematyki – hipoteza Riemanna.
Wykres funkcji ζ
Dziedzina liczb rzeczywistych
Dziedzina liczb zespolonych
Wykres funkcji ζ(z) na płaszczyźnie zespolonej uzyskany techniką kolorowania dziedziny.
Ważne wzory związane z funkcją ζ
Związek funkcji dzeta z liczbami pierwszymi (dla ):
gdzie oznacza ciąg kolejnych liczb pierwszych.
Związek z liczbami Bernoulliego:
dla każdej liczby parzystej dodatniej , gdzie to -ta liczba Bernoulliego. Ponadto dla liczb całkowitych ujemnych :
Zatem funkcja ζ przyjmuje wartość 0 dla każdej ujemnej liczby parzystej.
Związki z funkcjami teorioliczbowymi:
gdzie to funkcja π (pi) określająca liczbę liczb pierwszych nie większych od .
gdzie to funkcja τ (tau), określająca liczbę dzielników liczby .
Niektóre wartości
Zobacz też
Linki zewnętrzne
- Funkcja dzeta Riemanna (ang.) w encyklopedii MathWorld