Funkcje cyklometryczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcje cyklometryczne (funkcje kołowe) – funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów.

Funkcje trygonometryczne rozpatrywane na tych przedziałach są różnowartościowe i mają funkcje odwrotne. Tak więc:

  • arcus sinus jest funkcją odwrotną do funkcji sinus rozpatrywanej na przedziale . W przedziale tym sinus jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale (czyli obrazie przedziału przez funkcję ).
  • arcus cosinus jest funkcją odwrotną do funkcji cosinus rozpatrywanej na przedziale . W przedziale tym cosinus jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale (czyli obrazie przedziału przez funkcję ).
  • arcus tangens jest funkcją odwrotną do funkcji tangens rozpatrywanej na przedziale . W przedziale tym tangens jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona w zbiorze (czyli obrazie przedziału przez funkcję ).
  • arcus cotangens jest funkcją odwrotną do funkcji cotangens rozpatrywanej na przedziale . W przedziale tym cotangens jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona w zbiorze (czyli obrazie przedziału przez funkcję ).
  • arcus secans jest funkcją odwrotną do funkcji secans rozpatrywanej na przedziale . W przedziale tym secans jest funkcją rosnącą w każdym z przedziałów (zatem różnowartościową): , , wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale (czyli obrazie przedziału przez funkcję ).
  • arcus cosecans jest funkcją odwrotną do funkcji cosecans rozpatrywanej na przedziale . W przedziale tym cosecans jest funkcją malejącą w każdym z przedziałów (zatem różnowartościową): , , wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale (czyli obrazie przedziału przez funkcję ).

Zgodnie z określeniem funkcji odwrotnej:

  • gdy
  • gdy
  • gdy
  • gdy
  • gdy
  • gdy

Jak w przypadku funkcji trygonometrycznych nawiasów wokół argumentów możemy nie stawiać, chyba że prowadziłoby to do niejednoznaczności.

Własności funkcji wynikają natychmiast z twierdzeń o funkcjach odwrotnych. Wszystkie z nich są ciągłe i różniczkowalne.

  • arcus sinus jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest , a przeciwdziedziną
  • arcus cosinus jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest , a przeciwdziedziną
  • arcus tangens jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest , a przeciwdziedziną
  • arcus cotangens jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest , a przeciwdziedziną
  • arcus secans jest funkcją rosnącą w każdym z przedziałów: , . Jej dziedziną jest , a przeciwdziedziną .
  • arcus cosecans jest funkcją malejącą w każdym z przedziałów: , . Jej dziedziną jest , a przeciwdziedziną

Zależności między funkcjami cyklometrycznymi[edytuj]

Argumenty ujemne:

Odwrotności argumentów:



Przykłady[edytuj]

Oto wykresy funkcji , oraz prosta . Wykresy obu funkcji są symetryczne względem tej prostej.

Arcus sinus

Analogicznie, wykresy funkcji , są symetryczne względem prostej .

Arcus cosinus

Wykresy funkcji , są symetryczne względem prostej .

Arcus tangens

Wykresy funkcji , są symetryczne względem prostej .

Arcus cotangens