Operator Laplace’a, laplasjan – operator różniczkowy drugiego rzędu, wprowadzony przez Pierre’a Simona de Laplace’a. W układzie kartezjańskim 3-wymiarowym ma postać[1]:
![{\displaystyle \Delta \equiv \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30e02d938438c9574e48ac5bc82d8d034a185ba5)
Operator ten uogólnia się na przestrzenie euklidesowe
-wymiarowe z dowolnymi układami współrzędnych krzywoliniowych (w tym ze współrzędnymi kartezjańskimi) oraz na dowolne przestrzenie riemannowskie i pseudoriemannowskie.
(1) Operator Laplace’a występuje w wielu równaniach fizyki, np.
(2) W teorii prawdopodobieństwa laplasjan jest generatorem procesu Wienera.
Operator Laplace’a – współrzędne kartezjańskie[edytuj | edytuj kod]
Definicja operatora Laplace’a w
-wymiarowym układzie kartezjańskim
![{\displaystyle \Delta \equiv \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}+\dots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75f84103328395d5bd384b2cea3281ba7545833e)
Operator Laplace’a – ortogonalne współrzędne krzywoliniowe[edytuj | edytuj kod]
(1) Operator Laplace’a w
-wymiarowym ortogonalnym krzywoliniowym układzie współrzędnych ma postać
![{\displaystyle \Delta ={\frac {1}{h_{1},h_{2},\dots ,h_{n}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\frac {h_{1},h_{2},\dots ,h_{n}}{h_{i}^{2}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d862ade51a8a60d082f96162e20748f06f97904c)
gdzie:
– współrzędne krzywoliniowe,
– współczynniki Lamego, tj.
![{\displaystyle h_{i}={\sqrt {g_{ii}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cd071c3be4e29689fb2292877241057d1c8313d)
gdzie:
Zauważmy, że współczynniki Lamego są w ogólności funkcjami współrzędnych (por. przykład poniżej), dlatego nie można ich przesunąć przed pochodną
w powyższym wzorze. Powyższy wzór wyprowadza się wychodząc od definicji operatora Laplace’a w układzie kartezjańskim i dokonując podstawienia pod współrzędne kartezjańskie zależności funkcyjne od innych zmiennych.
(2) W szczególności w układzie 3-wymiarowym mamy
![{\displaystyle \Delta ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}h_{3}}{h_{i}^{2}}}{\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bacd2ac446a955b15c59da104013c5d18d2fab8c)
czyli
![{\displaystyle \Delta ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left({\frac {h_{1}h_{3}}{h_{2}}}{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfa06e63d1af4a231a5e681cfb573ccab21f3a54)
Z powyższego ogólnego wzoru można otrzymać w szczególności postać operatora Laplace’a w układzie współrzędnych sferycznych
![{\displaystyle \Delta ={\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c48f14cbf3e01af023a350d0b8ada4eb363ff144)
lub
![{\displaystyle \Delta ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}r+{\frac {1}{r^{2}}}\left(\operatorname {ctg} \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8588395223e7fec30a174e044025d7fc0d89ebe)
Z ogólnego wzoru można otrzymać postać operatora Laplace’a w układzie współrzędnych walcowych
![{\displaystyle \Delta ={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial }{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80ef3289e5d3b2bf50b42183218f6c9360f09118)
Przykład: Obliczenie operatora Laplace’a z ogólnego wzoru[edytuj | edytuj kod]
Pokażemy tu, jak obliczyć operator Laplace’a we współrzędnych sferycznych, wychodząc od ogólnego wzoru.
Współrzędne sferyczne
są związane ze współrzędnymi kartezjańskimi
za pomocą zależności
![{\displaystyle {\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \phi \\y=r\sin \theta \sin \phi \\z=r\cos \theta \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecb33b03c23e28ede8c97b9bbf9c15f8e3997cb9)
Kowariantny tensor metryczny ma postać (patrz: tensor metryczny- przykłady)
![{\displaystyle g_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be1a3f9442a26ca2717dd93e2fddb20a9306f56b)
zatem współczynniki Lamego są następujące
![{\displaystyle {\begin{cases}h_{1}=1\\h_{2}=r\\h_{3}=r\sin \theta \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1233a71a78ada28ca3fce3a54596090db9e92bb9)
Wstawiając powyższe współczynniki Lamego do ogólnego wzoru na laplasjan w
-wymiarowym krzywoliniowym układzie współrzędnych i wykonując różniczkowanie otrzymuje się szukany wzór
![{\displaystyle \Delta ={\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c48f14cbf3e01af023a350d0b8ada4eb363ff144)
Operator Laplace’a – dowolne współrzędne krzywoliniowe[edytuj | edytuj kod]
Operator Laplace’a w
-wymiarowym krzywoliniowym układzie współrzędnych
ma postać
(1) ogólny wzór
![{\displaystyle \nabla ^{2}=\nabla q^{m}\cdot \nabla q^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial q^{m}\partial q^{n}}}+\nabla ^{2}q^{m}{\frac {\partial }{\partial q^{m}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/011336bf654ee42be9556f9d8c5dcd5b4cf01c85)
(2) z użyciem symboli
![{\displaystyle \nabla ^{2}=g^{mn}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial q^{m}\partial q^{n}}}-\Gamma _{mn}^{l}{\frac {\partial }{\partial q^{l}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f62ac258d05421a2db1c28a9edad7a97a50f8b6d)
gdzie:
– odwrotny tensor metryczny,
– symbole Christoffela układu krzywoliniowego.
(3) z użyciem odwrotnego tensora metrycznego
![{\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {1}{\sqrt {|\det g|}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {|\det g|}}\,g^{ij}{\frac {\partial }{\partial q^{j}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3938b7c52ebc62ef2827b9b204281a4caceebac4)
gdzie:
– wyznacznik tensora metrycznego.
(patrz równanie Voss-Weyla dotyczące dywergencji)
Związek operatora Laplace’a z gradientem i dywergencją[edytuj | edytuj kod]
Słuszne są następujące twierdzenia:
Tw. 1 Laplasjan funkcji skalarnej
jest równy dywergencji z gradientu tej funkcji
![{\displaystyle \Delta f=\operatorname {div} \ (\operatorname {grad} \ f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/100f6b85673201725d9c67111d1cd4184ca1234b)
lub równoważnie
![{\displaystyle \Delta f\equiv \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla f.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d78face58b06002f0a2f0b09ab69297e1566794)
Tw. 2 Laplasjan funkcji wektorowej
wyraża się przez operatory gradientu i rotacji
![{\displaystyle \Delta {\vec {F}}=\operatorname {grad} (\operatorname {div} {\vec {F}})-{\operatorname {rot} }(\operatorname {rot} {\vec {F}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfa6f318edd827b36e0da3b0e9cda727bb6361a8)
lub równoważnie
![{\displaystyle \Delta {\vec {F}}=\nabla (\nabla \cdot {\vec {F}})-\nabla \times (\nabla \times {\vec {F}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc4959913bbfe28b60702efe295256c8d8036a18)
Tw. 3 Laplasjan iloczynu funkcji skalarnych oblicza się według poniższego wzoru
![{\displaystyle \Delta (fg)=f\Delta (g)+2\nabla f\cdot \nabla g+g\Delta (f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39b8f697aaea07a1293f047d19fa891a7e4aba3e)
lub równoważnie
![{\displaystyle \nabla ^{2}(fg)=f\,\,\nabla ^{2}\!g+2\,\nabla f\cdot \nabla g+g\,\,\nabla ^{2}\!f.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/002d9f6db9c7c0c1aa48583ceede73ee50451813)
Działanie operatora Laplace’a na funkcję wektorową[edytuj | edytuj kod]
Operator Laplace’a działając na funkcję wektorową zapisaną w układzie kartezjańskim w postaci
![{\displaystyle {\vec {F}}=[F_{1},\dots ,F_{n}]\equiv \sum _{k=1}^{n}F_{k}\,{\hat {e}}_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d84825db603241126eb156e504066438b4748b3b)
tworzy wektor, którego współrzędnymi są wielkości
obliczone z funkcji współrzędnych
tej funkcji wektorowej, tj.
![{\displaystyle \Delta {\vec {F}}=[\Delta F_{1},\dots ,\Delta F_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94d1f0d8c42ab229698efd86b14ffc80456d1cb2)
lub równoważnie
![{\displaystyle \Delta {\vec {F}}=\sum _{k=1}^{n}(\Delta F_{k}){\hat {e}}_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55b14396b410096f6e2459be950da6a0e69350be)
W innych układach współrzędnych działanie operatora Laplace’a wyraża się bardziej złożonymi wzorami.
Operatory różniczkowe
(1) Operatory różniczkowe 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego
(2) Operatory różniczkowe 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesowej
(3) Operatory różniczkowe w n-wymiarowej rozmaitości pseudoriemannowskiej