Funkcja ograniczona: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
→Przykłady: link |
→Przykłady: link |
||
Linia 23: | Linia 23: | ||
* Ciąg <math>-1, -3, -5, -7, \dots</math> nie jest ograniczony z dołu, natomiast posiada ograniczenie górne. |
* Ciąg <math>-1, -3, -5, -7, \dots</math> nie jest ograniczony z dołu, natomiast posiada ograniczenie górne. |
||
* odległość punktów (w ogólności [[przestrzeń metryczna|metryka]]), długość [[wektor]]a (w ogólności [[przestrzeń unormowana|norma]]) – funkcje ograniczone z dołu (przez zero), ale nie z góry. |
* odległość punktów (w ogólności [[przestrzeń metryczna|metryka]]), długość [[wektor]]a (w ogólności [[przestrzeń unormowana|norma]]) – funkcje ograniczone z dołu (przez zero), ale nie z góry. |
||
* [[długość łuku|długość krzywej]] (np. [[obwód |
* [[długość łuku|długość krzywej]] (np. [[obwód (geometria)|obwód figury]]), [[pole powierzchni]] i [[objętość]] – przykłady [[miara (matematyka)|miary]], która z definicji jest ograniczona z dołu przez zero, |
||
* [[prawdopodobieństwo]] – miara ograniczona z góry przez jeden. |
* [[prawdopodobieństwo]] – miara ograniczona z góry przez jeden. |
||
Wersja z 13:04, 14 maj 2017
Ten artykuł od 2011-12 wymaga zweryfikowania podanych informacji. |
Funkcja ograniczona – funkcja, której wszystkie wartości należą do pewnego przedziału ograniczonego.
Funkcją nieograniczoną nazywa się funkcję, która nie jest ograniczona. Równoważnie: jest to funkcja, której zbiór wartości nie zawiera się w żadnym przedziale.
Ograniczoność z góry i z dołu
Funkcję nazwiemy ograniczoną z góry, jeżeli wszystkie jej wartości są mniejsze od pewnej ustalonej liczby. Podobnie funkcja jest ograniczona z dołu, jeżeli wszystkie jej wartości są większe od pewnej ustalonej liczby. Zatem funkcja jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie ograniczona z góry i z dołu.
Ciągi ograniczone
Ponieważ każdy ciąg jest funkcją, zatem pojęcie ograniczoności funkcji przenosi się w oczywisty sposób na ciągi. Każdy zbieżny ciąg liczbowy jest ograniczony.
Topologia i analiza funkcjonalna
Funkcję o wartościach w przestrzeni metrycznej nazywamy ograniczoną wtedy i tylko wtedy, gdy jej zbiór wartości zawiera się w pewnej kuli. Analogicznie, funkcję nazywamy nieograniczoną wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje kula, w której zawiera się zbiór wartości funkcji.
Funkcję o wartościach w przestrzeni liniowo-topologicznej nazywamy ograniczoną wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jej wartości jest zbiorem ograniczonym. Gdy przestrzeń liniowo-topologiczna jest metryzowalna, to obie definicje są równoważne.
Przykłady
- Funkcje sinus i cosinus są ograniczone – wszystkie ich wartości należą do przedziału .
- Funkcje są nieograniczone. Funkcja kwadratowa jest jednak ograniczona z dołu. Ogólnie, wszystkie wielomiany stopnia niezerowego i różne od wielomianu zerowego są nieograniczone.
- Ciąg jest ograniczony, gdyż wszystkie jego wyrazy należą do przedziału .
- Ciąg choć ograniczony z dołu, nie jest ograniczony z góry, zatem jest nieograniczony.
- Ciąg nie jest ograniczony z dołu, natomiast posiada ograniczenie górne.
- odległość punktów (w ogólności metryka), długość wektora (w ogólności norma) – funkcje ograniczone z dołu (przez zero), ale nie z góry.
- długość krzywej (np. obwód figury), pole powierzchni i objętość – przykłady miary, która z definicji jest ograniczona z dołu przez zero,
- prawdopodobieństwo – miara ograniczona z góry przez jeden.