Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Twierdzenie Cauchy’ego – twierdzenie przypisywane Cauchy’emu , podające wzór na wyznacznik iloczynu dwóch macierzy kwadratowych.
Niech
A
,
B
{\displaystyle A,B}
będą macierzami kwadratowymi ustalonego stopnia nad tym samym pierścieniem przemiennym (ciałem ), wówczas wyznacznik ich iloczynu jest równy iloczynowi ich wyznaczników, czyli prawdziwy jest wzór
det
(
A
B
)
=
det
A
⋅
det
B
.
{\displaystyle \det(AB)=\det A\cdot \det B.}
A
=
[
a
i
j
]
∈
M
,
B
=
[
b
i
j
]
,
i
,
j
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle A=[a_{ij}]\in M,B=[b_{ij}],\ i,j=1,\dots ,n}
P
:=
[
A
0
−
I
B
]
.
{\displaystyle P:={\begin{bmatrix}A&0\\-I&B\end{bmatrix}}.}
Pomnóżmy pierwszą kolumnę macierzy
P
{\displaystyle P}
przez element
b
11
,
{\displaystyle b_{11},}
drugą kolumnę przez
b
21
,
{\displaystyle b_{21},}
trzecią przez
b
31
,
…
,
{\displaystyle b_{31},\dots ,}
n-tą przez
b
n
1
,
{\displaystyle b_{n1},}
a następnie dodajmy każdą z nich do kolumny n+1. Otrzymamy następującą macierz:
[
a
11
b
11
+
a
12
b
21
+
…
+
a
1
n
b
n
1
0
…
0
A
⋮
⋮
⋮
a
n
1
b
11
+
a
n
2
b
21
+
…
+
a
n
n
b
n
1
0
…
0
0
b
12
…
b
1
n
−
I
⋮
⋮
⋮
0
b
n
2
…
b
n
n
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}&&&a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+\ldots +a_{1n}b_{n1}&0&\dots &0\\&A&&\vdots &\vdots &&\vdots \\&&&a_{n1}b_{11}+a_{n2}b_{21}+\ldots +a_{nn}b_{n1}&0&\dots &0\\&&&0&b_{12}&\dots &b_{1n}\\&-I&&\vdots &\vdots &&\vdots \\&&&0&b_{n2}&\dots &b_{nn}\end{bmatrix}}}
Pomnóżmy pierwszą kolumnę powyższej macierzy przez element
b
12
,
{\displaystyle b_{12},}
drugą kolumnę przez
b
22
,
{\displaystyle b_{22},}
trzecią przez
b
32
,
…
,
{\displaystyle b_{32},\dots ,}
n-tą przez
b
n
2
,
{\displaystyle b_{n2},}
a następnie dodajmy każdą z nich do kolumny n+2. Otrzymamy następującą macierz:
[
a
11
b
11
+
a
12
b
21
+
…
+
a
1
n
b
n
1
a
11
b
12
+
a
12
b
22
+
…
+
a
1
n
b
n
2
0
…
0
A
⋮
⋮
⋮
⋮
a
n
1
b
11
+
a
n
2
b
21
+
…
+
a
n
n
b
n
1
a
n
1
b
12
+
a
n
2
b
22
+
…
+
a
n
n
b
n
2
0
…
0
0
0
b
13
…
b
1
n
−
I
⋮
⋮
⋮
⋮
0
0
b
n
3
…
b
n
n
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}&&&a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+\ldots +a_{1n}b_{n1}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+\ldots +a_{1n}b_{n2}&0&\dots &0\\&A&&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\&&&a_{n1}b_{11}+a_{n2}b_{21}+\ldots +a_{nn}b_{n1}&a_{n1}b_{12}+a_{n2}b_{22}+\ldots +a_{nn}b_{n2}&0&\dots &0\\&&&0&0&b_{13}&\dots &b_{1n}\\&-I&&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\&&&0&0&b_{n3}&\dots &b_{nn}\end{bmatrix}}}
Wykonując dalej analogiczne czynności otrzymamy macierz:
Q
:=
[
A
A
B
−
I
0
]
.
{\displaystyle Q:={\begin{bmatrix}A&AB\\-I&0\end{bmatrix}}.}
Dodanie dowolnej wielokrotności jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika, więc
det
P
=
det
Q
.
{\displaystyle \det P=\det Q.}
Korzystając z własności wyznacznika macierzy klatkowej mamy:
det
Q
=
(
−
1
)
n
2
det
(
−
I
)
det
(
A
B
)
=
(
−
1
)
n
2
⋅
(
−
1
)
n
det
I
det
(
A
B
)
=
det
(
A
B
)
(
⋆
⋆
)
{\displaystyle \det Q=(-1)^{n^{2}}\det(-I)\det(AB)=(-1)^{n^{2}}\cdot (-1)^{n}\det I\det(AB)=\det(AB)\ \ (\star \star )}
(
n
2
+
n
{\displaystyle (n^{2}+n}
jest zawsze parzyste, więc
(
−
1
)
n
2
+
n
=
1
)
{\displaystyle (-1)^{n^{2}+n}=1)}
(
⋆
)
,
(
⋆
⋆
)
⇒
det
A
⋅
det
B
=
det
P
=
det
Q
=
det
(
A
B
)
.
{\displaystyle (\star ),(\star \star )\Rightarrow \det A\cdot \det B=\det P=\det Q=\det(AB).}
Co kończy dowód twierdzenia.
det
(
A
B
)
=
det
A
⋅
det
B
=
det
B
⋅
det
A
=
det
(
B
A
)
{\displaystyle \det(AB)=\det A\cdot \det B=\det B\cdot \det A=\det(BA)}
Jeżeli
A
{\displaystyle A}
jest macierzą odwracalną , wówczas jest ona także nieosobliwa . Ponieważ
det
I
=
1
{\displaystyle \det I=1}
oraz
A
A
−
1
=
I
,
{\displaystyle AA^{-1}=I,}
to
det
A
A
−
1
=
1
{\displaystyle \det AA^{-1}=1}
i dalej
det
A
⋅
det
A
−
1
=
1
,
{\displaystyle \det A\cdot \det A^{-1}=1,}
a stąd
det
A
−
1
=
(
det
A
)
−
1
.
{\displaystyle \det A^{-1}=(\det A)^{-1}.}
Słownie: wyznacznik macierzy odwrotnej do danej jest równy odwrotności wyznacznika tej macierzy.
Wyznaczniki macierzy podobnych są równe, niech
A
{\displaystyle A}
oraz
B
{\displaystyle B}
będą takimi macierzami, wtedy
det
B
=
det
(
P
−
1
A
P
)
=
det
(
P
P
−
1
A
)
=
det
A
.
{\displaystyle \det B=\det(P^{-1}AP)=\det(PP^{-1}A)=\det A.}
Cauchy Binet formula (ang. ) , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
Niektóre typy macierzy Cechy niezależne od bazy
Cechy zależne od bazy
Operacje na macierzach jednoargumentowe
dwuargumentowe
Niezmienniki Inne pojęcia