Funkcja ograniczona: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
mNie podano opisu zmian Znaczniki: VisualEditor Z urządzenia mobilnego Z wersji mobilnej (przeglądarkowej) |
|||
Linia 1: | Linia 1: | ||
{{Funkcje matematyczne}} |
{{Funkcje matematyczne}} |
||
{{Dopracować|źródła=2011-12 |
{{Dopracować|źródła=2011-12}} |
||
[[ |
[[Plik:Bounded and unbounded functions.svg|thumb|Ilustracja funkcji ograniczonej (czerwona) i nieograniczonej (niebieska). Dla funkcji ograniczonej da się znaleźć linię poziomą, której wykres nie przekracza, a dla funkcji nieograniczonej taka linia nie istnieje.]] |
||
'''Funkcja ograniczona''' – [[funkcja]], której wszystkie wartości należą do pewnego [[przedział (matematyka)|przedziału]] ograniczonego. |
'''Funkcja ograniczona''' – [[funkcja]], której wszystkie wartości należą do pewnego [[przedział (matematyka)|przedziału]] ograniczonego. |
||
'''Funkcja''' '''nieograniczona |
'''Funkcja''' '''nieograniczona –''' funkcja, która nie jest ograniczona. Równoważnie: jest to funkcja, której [[Obraz i przeciwobraz|zbiór wartości]] nie zawiera się w żadnym przedziale. |
||
== Ograniczoność z góry i z dołu == |
== Ograniczoność z góry i z dołu == |
||
Funkcja |
Funkcja jest '''ograniczona z góry''', jeżeli wszystkie jej wartości są mniejsze od pewnej ustalonej liczby. |
||
Funkcja jest '''ograniczona |
Funkcja jest '''ograniczona z dołu''', jeżeli wszystkie jej wartości są większe od pewnej ustalonej liczby. |
||
'''Funkcja jest ograniczona''' wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie ograniczona z góry i z dołu. |
'''Funkcja jest ograniczona''' wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie ograniczona z góry i z dołu. |
||
Linia 22: | Linia 22: | ||
== Przykłady == |
== Przykłady == |
||
* Funkcje sinus i cosinus są ograniczone – wszystkie ich wartości należą do przedziału <math>[-1, 1]</math> |
* Funkcje sinus i cosinus są ograniczone – wszystkie ich wartości należą do przedziału <math>[-1, 1].</math> |
||
* Funkcje <math>f(x) = x,\; g(x) = x^2</math> są nieograniczone. [[Funkcja kwadratowa]] <math>g(x) = x^2</math> jest jednak ograniczona z dołu. Ogólnie, wszystkie [[wielomian]]y stopnia niezerowego i różne od wielomianu zerowego są nieograniczone. |
* Funkcje <math>f(x) = x,\; g(x) = x^2</math> są nieograniczone. [[Funkcja kwadratowa]] <math>g(x) = x^2</math> jest jednak ograniczona z dołu. Ogólnie, wszystkie [[wielomian]]y stopnia niezerowego i różne od wielomianu zerowego są nieograniczone. |
||
* [[Ciąg (matematyka)|Ciąg]] <math>1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{5}, \dots</math> jest ograniczony, gdyż wszystkie jego wyrazy należą do przedziału <math>(0, 1]</math> |
* [[Ciąg (matematyka)|Ciąg]] <math>1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{5}, \dots</math> jest ograniczony, gdyż wszystkie jego wyrazy należą do przedziału <math>(0, 1].</math> |
||
* Ciąg <math>1, 2, 3, 4, \dots</math> choć ograniczony z dołu, nie jest ograniczony z góry, zatem jest nieograniczony. |
* Ciąg <math>1, 2, 3, 4, \dots</math> choć ograniczony z dołu, nie jest ograniczony z góry, zatem jest nieograniczony. |
||
* Ciąg <math>-1, -3, -5, -7, \dots</math> nie jest ograniczony z dołu, natomiast posiada ograniczenie górne. |
* Ciąg <math>-1, -3, -5, -7, \dots</math> nie jest ograniczony z dołu, natomiast posiada ograniczenie górne. |
||
* Odległość punktów (w ogólności [[przestrzeń metryczna|metryka]]), długość [[wektor]]a (w ogólności [[przestrzeń unormowana|norma]]) – to funkcje ograniczone z dołu przez zero, ale nie z góry. |
* Odległość punktów (w ogólności [[przestrzeń metryczna|metryka]]), długość [[wektor]]a (w ogólności [[przestrzeń unormowana|norma]]) – to funkcje ograniczone z dołu przez zero, ale nie z góry. |
||
* [[ |
* [[Długość krzywej]] (np. [[obwód (geometria)|obwód figury]]), [[pole powierzchni]] i [[objętość]] – przykłady [[miara (matematyka)|miar]], które z definicji są ograniczone z dołu przez zero. |
||
* [[Prawdopodobieństwo]] – miara ograniczona z dołu przez 0, z góry przez 1. |
* [[Prawdopodobieństwo]] – miara ograniczona z dołu przez 0, z góry przez 1. |
||
== Zobacz też == |
== Zobacz też == |
||
* [[Operator liniowy ograniczony|operator ograniczony]] |
* [[Operator liniowy ograniczony|operator ograniczony]] |
||
[[Kategoria:Funkcje matematyczne|Ograniczona]] |
[[Kategoria:Funkcje matematyczne|Ograniczona]] |
Wersja z 09:27, 2 cze 2020
Ten artykuł od 2011-12 wymaga zweryfikowania podanych informacji. |
Funkcja ograniczona – funkcja, której wszystkie wartości należą do pewnego przedziału ograniczonego.
Funkcja nieograniczona – funkcja, która nie jest ograniczona. Równoważnie: jest to funkcja, której zbiór wartości nie zawiera się w żadnym przedziale.
Ograniczoność z góry i z dołu
Funkcja jest ograniczona z góry, jeżeli wszystkie jej wartości są mniejsze od pewnej ustalonej liczby.
Funkcja jest ograniczona z dołu, jeżeli wszystkie jej wartości są większe od pewnej ustalonej liczby.
Funkcja jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie ograniczona z góry i z dołu.
Ciągi ograniczone
Ponieważ każdy ciąg jest funkcją, zatem pojęcie ograniczoności funkcji przenosi się w oczywisty sposób na ciągi. Każdy zbieżny ciąg liczbowy jest ograniczony.
Topologia i analiza funkcjonalna
Funkcję o wartościach w przestrzeni metrycznej nazywamy ograniczoną wtedy i tylko wtedy, gdy jej zbiór wartości zawiera się w pewnej kuli. Analogicznie, funkcję nazywamy nieograniczoną wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje kula, w której zawiera się zbiór wartości funkcji.
Funkcję o wartościach w przestrzeni liniowo-topologicznej nazywamy ograniczoną wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jej wartości jest zbiorem ograniczonym. Gdy przestrzeń liniowo-topologiczna jest metryzowalna, to obie definicje są równoważne.
Przykłady
- Funkcje sinus i cosinus są ograniczone – wszystkie ich wartości należą do przedziału
- Funkcje są nieograniczone. Funkcja kwadratowa jest jednak ograniczona z dołu. Ogólnie, wszystkie wielomiany stopnia niezerowego i różne od wielomianu zerowego są nieograniczone.
- Ciąg jest ograniczony, gdyż wszystkie jego wyrazy należą do przedziału
- Ciąg choć ograniczony z dołu, nie jest ograniczony z góry, zatem jest nieograniczony.
- Ciąg nie jest ograniczony z dołu, natomiast posiada ograniczenie górne.
- Odległość punktów (w ogólności metryka), długość wektora (w ogólności norma) – to funkcje ograniczone z dołu przez zero, ale nie z góry.
- Długość krzywej (np. obwód figury), pole powierzchni i objętość – przykłady miar, które z definicji są ograniczone z dołu przez zero.
- Prawdopodobieństwo – miara ograniczona z dołu przez 0, z góry przez 1.