Funkcja dzeta Riemanna: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Linia 30: | Linia 30: | ||
Związek funkcji dzeta z [[Liczba pierwsza|liczbami pierwszymi]] (dla <math>Re(z)>1</math>): |
Związek funkcji dzeta z [[Liczba pierwsza|liczbami pierwszymi]] (dla <math>Re(z)>1</math>): |
||
:<math>{\zeta}( z ) = \prod_p \frac{ |
: <math>{\zeta}( z ) = \prod_p \frac{1}{1-p^{-z}}</math> |
||
gdzie <math>p</math> oznacza ciąg kolejnych liczb pierwszych. |
gdzie <math>p</math> oznacza ciąg kolejnych liczb pierwszych. |
||
Linia 57: | Linia 57: | ||
[[Plik:Riemann zeta-function x greater 1.png|right|thumb|260px|Wykres funkcji dzeta Riemanna dla x > 1]] |
[[Plik:Riemann zeta-function x greater 1.png|right|thumb|260px|Wykres funkcji dzeta Riemanna dla x > 1]] |
||
: <math>\zeta( |
:<math>\zeta(1) = \infin</math> '''''lub''''' <math>\zeta(1) = -\frac{1}{12} \approx -0{,}0833333</math> |
||
: <math>\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1{,}6449341</math> |
: <math>\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1{,}6449341</math> |
Wersja z 19:38, 28 gru 2018
Funkcja ζ (dzeta) Riemanna – funkcja specjalna zdefiniowana jako przedłużenie analityczne poniższej sumy:
Szereg ten jest zbieżny dla takich , których część rzeczywista jest większa od 1.
Za pomocą metod analizy matematycznej sumę tę daje się rozszerzyć na wszystkie liczby zespolone, poza . Przyjmuje ona wtedy postać:
Aby znaleźć wartość funkcji dzeta dla o części rzeczywistej mniejszej od 1, można posłużyć się również wzorem rekurencyjnym:
gdzie to funkcja Γ (gamma) Eulera.
Z funkcją dzeta związany jest jeden z najważniejszych problemów współczesnej matematyki – hipoteza Riemanna.
Wykres funkcji ζ
Dziedzina liczb rzeczywistych
Dziedzina liczb zespolonych
Wykres funkcji ζ(z) na płaszczyźnie zespolonej uzyskany techniką kolorowania dziedziny.
Ważne wzory związane z funkcją ζ
Związek funkcji dzeta z liczbami pierwszymi (dla ):
gdzie oznacza ciąg kolejnych liczb pierwszych.
Związek z liczbami Bernoulliego:
dla każdej liczby parzystej dodatniej , gdzie to -ta liczba Bernoulliego. Ponadto dla liczb całkowitych ujemnych :
Zatem funkcja ζ przyjmuje wartość 0 dla każdej ujemnej liczby parzystej.
Związki z funkcjami teorioliczbowymi:
gdzie to funkcja π (pi) określająca liczbę liczb pierwszych nie większych od .
gdzie to funkcja τ (tau), określająca liczbę dzielników liczby .
Niektóre wartości
- lub
Ogólnie, dla , mamy:
gdzie to liczba Bernoulliego z indeksem .
Zobacz też
Linki zewnętrzne
- Funkcja dzeta Riemanna (ang.) w encyklopedii MathWorld