Studiował w Krakowie i Wiedniu. Święcenia kapłańskie przyjął 2 września 1810. Był kanonikiem, rektorem seminarium oraz dyrektorem studium teologicznego w Ołomuńcu. 25 marca 1815 został mianowany arcybiskupem Lwowa obrządku łacińskiego, sakrę biskupią przyjął 15 sierpnia 1815.
Ankwicz zapisał się w historii archidiecezji jako energiczny zarządca, dbający o dyscyplinę duchowieństwa oraz rozwój kultu liturgicznego. Troszczył się również o oświatę ludową. Jako polityk sprzeciwiał się polskim ruchom niepodległościowym i sprzyjał polityce domu Habsburgów. W 1817 uzyskał od cesarza austriackiego tytuł prymasa Galicji i Lodomerii (dla siebie i kolejnych arcybiskupów Lwowa). W latach 1817–1818 piastował urząd rektoraUniwersytetu Lwowskiego.
