Określoność formy

Określoność formy – właściwość formy kwadratowej $Q(\mathbf {x} )$ określonej na rzeczywistej przestrzeni liniowej $V$.

• Jeżeli forma przyjmuje wartości tego samego znaku dla wszystkich punktów $\mathbf {x}$ przestrzeni liniowej, to nazywa się ją określoną.
• Jeżeli forma przyjmuje wartości tego samego znaku albo zeruje się dla niektórych punktów $\mathbf {x}$ przestrzeni liniowej, to nazywa się ją półokreśloną.
• Jeżeli forma przyjmuje dla jednych punktów $\mathbf {x}$ wartości dodatnie, a dla innych ujemne, to nazywa się ją nieokreśloną.

Rodzaje form określonych

Spośród form określonych i półokreślonych wyróżnia się następujące typy:

jeżeli dla każdego $\mathbf {x} \neq \mathbf {0}$ jest

• $Q(\mathbf {x} )>0$ – formę nazywa się dodatnio określoną (dodatnia),
• $Q(\mathbf {x} )<0$ – formę nazywa się ujemnie określoną (ujemna),
• $Q(\mathbf {x} )\geqslant 0$ – formę nazywa się nieujemnie określoną (nieujemna; dodatnio półokreślona),
• $Q(\mathbf {x} )\leqslant 0$ – formę nazywa się niedodatnio określoną (niedodatnia; ujemnie półokreślona).

Uwaga: Znaki elementów macierzy nie mają bezpośredniego związku z określonością macierzy (patrz przykłady poniżej).

Macierze odpowiadające formom

(1) Formie kwadratowej $Q$(i zapisanej w postaci symetrycznej – patrz niżej) zdefiniowanej na przestrzeni n-wymiarowej można przypisać macierz w następujący sposób

$Q(\mathbf {x} )\equiv Q(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}}=\mathbf {x} ^{\text{T}}A\,\mathbf {x} ,$

gdzie $\mathbf {x} =[x_{1},\dots ,x_{n}]$ jest dowolnym wektorem o $n$ współrzędnych $x_{1},\dots ,x_{n},$ takich że nie wszystkie współrzędne są równe zeru; indeks górny $^{\mathrm {T} }$ oznacza transpozycję; $A=[a_{ij}]$ oznacza macierz symetryczną $n\times n.$

Uwaga: Zakłada się, że forma ma postać symetryczną, tj. $a_{ij}=a_{ji}.$ Jeżeli by tak nie było, to łatwo nadać formie postać symetryczną zastępując współczynniki formy $a_{ij},a_{ji}$ przez ich średnie arytmetyczne, tj. przyjmując

$a'_{ij}=a'_{ji}=(a_{ij}+a_{ji})/2.$

Przy takiej zamianie forma nie ulegnie zmianie, a tylko przegrupowane zostają jej wyrazy.

(2) Macierz $A$ jest

• diagonalna, gdy forma zawiera wyłącznie wyrazy z kwadratami zmiennych,
• ma wyrazy pozadiagonalne, gdy forma zawiera składniki z iloczynami dwóch różnych zmiennych.

(3) Def. Macierze formy nazywa się macierzami określonymi/nieokreślonymi itd. jeżeli odpowiadają formom określonym/nieokreślonym itd.

Formy zdegenerowane/niezdegenerowane

Def. 1. Formę nazywamy zdegenerowaną, jeżeli jest równa zero dla wszystkich wartości $\mathbf {x} .$

Def. 2. Formę nazywamy niezdegenerowaną, jeżeli istnieje choć jedna wartość $\mathbf {x} ,$ dla której forma jest różna od zera.

Tw. 1. Forma jest zdegenerowana, jeżeli wyznacznik macierzy formy jest równy zeru.

Formy dwuliniowe

Tw. 2. Każdej formie kwadratowej $Q(x)$ odpowiada wzajemnie jednoznacznie symetryczna forma dwuliniowa $B(x,x)$ określona na tej samej przestrzeni, tak że zachodzą związki

$Q(x)=B(x,x),$

$B(x,y)=B(y,x)={\tfrac {1}{2}}(Q(x+y)-Q(x)-Q(y)).$

Def. 3. Formę symetryczną dwuliniową nazywa się określoną, nieokreśloną, półokreśloną itd. odpowiednio do odpowiadającej jej formy kwadratowej.

Tw. 3. Jeżeli forma kwadratowa $Q$ jest zadana za pomocą symetrycznej formy dwuliniowej $B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$ wzorem

$Q(\mathbf {x} )=B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ),$

to macierze tych form są równe.

Wynika stąd, że ma sens mówienie nie tylko o określoności (lub jej braku) macierzy form kwadratowych, ale i o określoności dowolnych form dwuliniowych symetrycznych.

Każda macierz kwadratowa może więc być macierzą pewnej formy kwadratowej bądź dwuliniowej symetrycznej.

Twierdzenie o dodatniej określoności

Forma kwadratowa o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych zapisana w postaci symetrycznej jest dodatnio określona, jeżeli wszystkie minory główne jej macierzy, obliczane po przekątnej od lewego rogu, są dodatnie. Np. macierz

$\mathbf {Q} ={\begin{bmatrix}q_{11}&q_{12}&q_{13}\\q_{21}&q_{22}&q_{23}\\q_{31}&q_{32}&q_{33}\end{bmatrix}}$

będzie dodatnio określona, jeżeli:

${\begin{vmatrix}q_{11}&q_{12}&q_{13}\\q_{21}&q_{22}&q_{23}\\q_{31}&q_{32}&q_{33}\end{vmatrix}}>0,\;{\begin{vmatrix}q_{11}&q_{12}\\q_{21}&q_{22}\end{vmatrix}}>0,\;q_{11}>0.$

Twierdzenie powyższe można zastosować do:

• sprawdzenia, czy dana macierz jest dodatnio określona
  • np. stosując do Przykładów 1, 2 – poniżej widać natychmiast, że macierz P jest określona dodatnio, a macierz N – nie,
• nałożenia warunków, ograniczających możliwe rozwiązania (np. L. Landau, J. Lifszyc, Teoria pola, s. 286).

Przykłady

Poniższe przykłady pokazują, że znaki elementów macierzy nie mają bezpośredniego związku z określonością macierzy.

Przykład 1. Macierz rzeczywista, symetryczna, dodatnio określona

$\mathbf {P} ={\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}}$

Dowód: Dla dowolnej macierzy kolumnowej $X={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}$ jest

${\begin{aligned}\\\mathbf {X} \,\mathbf {P} \,\mathbf {X} ^{T}&={\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}2x-y&-x+2y-z&-y+2z\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}\\&={\begin{matrix}2x^{2}-xy-xy+2y^{2}-yz-yz+2z^{2}.\end{matrix}}\end{aligned}}$

Oznacza to, że odpowiadająca tej macierzy forma kwadratowa $P$ ma wzór

$P(\mathbf {x} )=2x^{2}-2xy+2y^{2}-2yz+2z^{2}=x^{2}+(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+z^{2},$

gdzie $\mathbf {x} =(x,y,z).$ Widać stąd, że forma $P(\mathbf {x} )$ jest nieujemna, gdyż dana jest jako suma kwadratów, a ta nie jest nigdy mniejsza od zera. Ponadto forma ta jest niezdegenerowana, gdyż zeruje się tylko, gdy $\mathbf {x} =\mathbf {0} .$ Forma $P(\mathbf {x} )$ jest więc dodatnio określona, cnd.

Uwaga:

Dodatnią określoność łatwo stwierdzić, licząc minory główne (por. Twierdzenie powyżej lub Kryterium Sylvestera).

Przykład 2. Macierz rzeczywista, symetryczna, określona niedodatnio

$\mathbf {N} ={\begin{bmatrix}-1&-1&1\\-1&-2&0\\1&0&-2\end{bmatrix}}.$

Dowód: Wykonując obliczenia jak w Przykładzie 1 łatwo przekonać się, że odpowiadająca tej macierzy forma kwadratowa $N$ ma postać

$N(\mathbf {x} )=-x^{2}-2xy+2xz-2y^{2}-2z^{2}=-(x+y-z)^{2}-(y+z)^{2},$

gdzie $\mathbf {x} =(x,y,z).$ Z postaci formy widać, że jest niedodatnia i przyjmuje zero wyłącznie dla $\mathbf {x} =(-2t,t,-t),$ gdzie $t\in \mathbb {R} .$ Dlatego forma $N(\mathbf {x} )$ jest niedodatnio określona, cnd.

Uwaga, przekształcenie wzoru formy kwadratowej, do postaci sumy bądź różnicy kwadratów, nie jest najprostszym sposobem badania określoności formy, w wielu przypadkach może okazać się pomocne Kryterium Sylvestera.

Przykład 3. Macierz rzeczywista, symetryczna, nieokreślona

$\mathbf {Q} ={\begin{bmatrix}1&3&-2\\3&-2&0\\-2&0&1\end{bmatrix}}.$

Dowód: Można sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że macierzy $\mathbf {Q}$ odpowiada forma kwadratowa

$Q(\mathbf {x} )=x^{2}-2y^{2}+z^{2}+6xy-4xz,$

gdzie $\mathbf {x} =(x,y,z),$

Forma ta jest nieokreślona, gdyż

• przyjmuje wartości zarówno dodatnie, jak i ujemne, np.:
  1. jeśli $\mathbf {x} =(0,1,1),$ to $Q(\mathbf {x} )=-1,$
  2. jeśli $\mathbf {x} =(2,1,0),$ to $Q(\mathbf {x} )=14,$
• jest niezdegenerowana, tj. dla wszystkich $\mathbf {x} \neq \mathbf {0}$ jest $Q(\mathbf {x} )\neq 0.$

Przykład 4. Macierz jednostkowa w przestrzeni rzeczywistej lub zespolonej – jest dodatnio określona.

(1) Macierz jednostkowa $I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$ jest określona dodatnio. Jeśli jest to macierz formy określonej na przestrzeni rzeczywistej, to dla dowolnych wektorów mamy

$X^{\textsf {T}}IX={\begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=x^{2}+y^{2}.$

(2) Jeśli jest to macierz formy określonej na przestrzeni zespolonej, to dla dowolnego wektora zespolonego mamy

$X^{\mathrm {H} }IX={\begin{bmatrix}x^{*}&y^{*}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=x^{*}x+y^{*}y=|x|^{2}+|y|^{2}.$

Ponieważ wektor jest niezerowy, to $x$ albo $y$ musi być niezerowe, więc macierz jest dodatnio określona.

Twierdzenia

(1) Wszystkie formy dodatnio/ujemnie określone na tej samej przestrzeni wymiaru $n$ są równoważne formie kwadratowej diagonalnej, składającej się z sumy $n$ kwadratów.

(2) Określoność formy nie zależy od wyboru współrzędnych (choć postać formy zależy od wyboru współrzędnych). Oznacza to, że wszystkie wartości własne dodatnio określonej formy są dodatnie.

(3) Wynika stąd, że formy/macierze dodatnio określone są:

• nieosobliwe, tzn. mają niezerowy wyznacznik (będący iloczynem wszystkich wartości własnych),
• a zatem odwracalne,
• ponadto forma/macierz odwrotna do danej też jest dodatnio określona,
• suma form/macierzy dodatnio określonych także jest dodatnio określona.

(4) Analogiczne twierdzenia są słuszne dla macierzy ujemnie określonych.

(5) Ponadto słuszne są twierdzenia:

• symetryczna macierz dodatnio określona $\mathbf {A}$ ma rozkład Choleskiego, tzn. istnieje macierz odwracalna $\mathbf {L} ,$ dla której $\mathbf {A} =\mathbf {LL} ^{\mathrm {T} }$ (symetria i dodatnia określoność – to warunki konieczne i dostateczne),
• dla nieosobliwej/odwracalnej macierzy rzeczywistej $\mathbf {A}$ iloczyny $\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A}$ oraz $\mathbf {AA} ^{\mathrm {T} }$ są dodatnio określone,
• wynika stąd, że dodatnio określona jest forma/macierz jednostkowa,
• wszystkie wartości własne formy/macierzy zerowej są równe zeru, dlatego jest ona jednocześnie określona nieujemnie i niedodatnio – jest to jedyna forma/macierz o tej własności.

Zobacz też

• forma kwadratowa
• kryterium Sylvestera określoności form kwadratowych
• twierdzenie Sylvestera o bezwładności form kwadratowych

Zastosowania

• rozmaitość pseudoriemannowska
• rozmaitość riemannowska
• tensor metryczny

Bibliografia

• H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979, s. 123–138.
• T. Trajdos, Matematyka dla inżynierów, PWN, Warszawa 1974, s. 73–77.