Znaczniki : Z urządzenia mobilnego Z aplikacji mobilnej Z aplikacji Android
Linia 1:
Linia 1:
{{Funkcje matematyczne}}
{{Funkcje matematyczne}}
'''Funkcja ζ '''(dzeta)''' Riemanna''' – [[funkcje specjalne|funkcja specjalna]] zdefiniowana jako [[przedłużenie analityczne]] poniższej sumy:
'''Funkcja ζ '''(dzeta)''' Riemanna''' – [[funkcje specjalne|funkcja specjalna]] zdefiniowana jako [[przedłużenie analityczne]] poniższej sumy:
⚫ : <math>{\zeta}( z ) = \sum_{n = 1}^\infty \left( \frac{1}{n} \right)^z
. </math>
⚫ [[Szereg (matematyka)|Szereg]] ten jest zbieżny dla takich <math>z
, </math> których [[Liczby zespolone|część rzeczywista]] jest większa od 1.
⚫ : <math>{\zeta}( z ) = \sum_{n = 1}^
{\infty
} \left( \frac{1}{n} \right)^z</math>
⚫ Za pomocą metod analizy matematycznej sumę tę daje się rozszerzyć na wszystkie [[liczby zespolone]], poza <math>z=1
. </math> Przyjmuje ona wtedy postać:
⚫ [[Szereg (matematyka)|Szereg]] ten jest zbieżny dla takich <math>z</math>
, których [[Liczby zespolone|część rzeczywista]] jest większa od 1.
⚫ : <math>{\zeta}( z ) = \frac{1}{1-2^{1-z}} \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{2^{n+1}} \sum_{k = 0}^n (-1)^k \binom{n}{k} (k+1)^{-z}
. </math>
⚫ Za pomocą metod analizy matematycznej sumę tę daje się rozszerzyć na wszystkie [[liczby zespolone]], poza <math>z=1</math>
. Przyjmuje ona wtedy postać:
⚫ : <math>{\zeta}( z ) = \frac{1}{1-2^{1-z}} \sum_{n = 0}^
{\infty
} \frac{1}{2^{n+1}} \sum_{k = 0}^
{n
} (-1)^k \binom{n}{k} (k+1)^{-z}
</math>
Aby znaleźć wartość funkcji dzeta dla <math>z</math> o części rzeczywistej mniejszej od 1, można posłużyć się również wzorem rekurencyjnym:
Aby znaleźć wartość funkcji dzeta dla <math>z</math> o części rzeczywistej mniejszej od 1, można posłużyć się również wzorem rekurencyjnym:
⚫ : <math>{\zeta}( z ) = 2^z \pi^{z-1} \sin\left(\frac{\pi z}{2}\right) \Gamma ( 1 - z){\zeta}( 1 - z )
, </math>
⚫ : <math>{\zeta}( z ) = 2^z \pi^{z-1} \sin\left(\frac{\pi z}{2}\right) \Gamma ( 1 - z){\zeta}( 1 - z )</math>
gdzie <math>\Gamma</math> to [[funkcja Γ]] (gamma) Eulera.
gdzie <math>\Gamma</math> to [[funkcja Γ]] (gamma) Eulera.
Linia 24:
Linia 21:
=== Dziedzina liczb zespolonych ===
=== Dziedzina liczb zespolonych ===
Wykres funkcji ζ(''z'') na [[płaszczyzna zespolona|płaszczyźnie zespolonej]] uzyskany [[Technika kolorowania dziedziny|techniką kolorowania dziedziny]].
Wykres funkcji ζ(''z'') na [[płaszczyzna zespolona|płaszczyźnie zespolonej]] uzyskany [[Technika kolorowania dziedziny|techniką kolorowania dziedziny]].
[[Plik:Complex zeta.jpg|570px]]
[[Plik:Complex zeta.jpg|570px]]
== Ważne wzory związane z funkcją ζ ==
== Ważne wzory związane z funkcją ζ ==
Związek funkcji dzeta z [[Liczba pierwsza|liczbami pierwszymi]] (dla <math>Re(z)>1</math>):
Związek funkcji dzeta z [[Liczba pierwsza|liczbami pierwszymi]] (dla <math>Re(z)>1</math>):
⚫ : <math>{\zeta}( z ) = \prod_p \frac{1}{1-p^{-z}}
, </math>
⚫ : <math>{\zeta}( z ) = \prod_p \frac{1}{1-p^{-z}}</math>
gdzie <math>p</math> oznacza ciąg kolejnych liczb pierwszych.
gdzie <math>p</math> oznacza ciąg kolejnych liczb pierwszych.
Związek z [[Liczby Bernoulliego|liczbami Bernoulliego]]:
Związek z [[Liczby Bernoulliego|liczbami Bernoulliego]]:
⚫ : <math>{\zeta}( 2n ) = \left(-1\right)^{n+1} \frac{B_{2n}\left(2\pi\right)^{2n}}{2\left(2n\right)!}
, </math>
⚫ dla każdej liczby parzystej dodatniej <math>2n
, </math> gdzie <math>B_k</math> to <math>k</math>-ta liczba Bernoulliego. Ponadto dla liczb całkowitych ujemnych <math>-n
{:} </math>
⚫ : <math>{\zeta}( 2n ) = \left(-1\right)^{n+1} \frac{B_{2n}\left(2\pi\right)^{2n}}{2\left(2n\right)!}</math>
⚫ : <math>{\zeta}( -n ) = -\frac{B_{n+1}}{n+1}
. </math>
⚫ dla każdej liczby parzystej dodatniej <math>2n</math>
, gdzie <math>B_k</math> to <math>k</math>-ta liczba Bernoulliego. Ponadto dla liczb całkowitych ujemnych <math>-n</math>
:
⚫ : <math>{\zeta}( -n ) = -\frac{B_{n+1}}{n+1}</math>
Zatem funkcja ζ przyjmuje wartość 0 dla każdej ujemnej liczby parzystej.
Zatem funkcja ζ przyjmuje wartość 0 dla każdej ujemnej liczby parzystej.
Związki z funkcjami teorioliczbowymi:
Związki z funkcjami teorioliczbowymi:
⚫ : <math>\ln \zeta(z)=z\int_2^\infty \frac{\pi(x)}{x(x^z-1)}dx
, </math>
⚫ gdzie <math>\
pi (
x )</math> to [[funkcja
π ]] (
pi ) określająca liczbę
liczb pierwszych nie większych od <math>
x </math>
⚫ : <math>\ln \zeta(z)=z\int_2^\infty \frac{\pi(x)}{x(x^z-1)}dx</math>
⚫ : <math>\zeta^2(z)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\tau(n)}{n^z}
, </math>
gdzie <math>\pi(x)</math> to [[funkcja π]] (pi) określająca liczbę liczb pierwszych nie większych od <math>x</math>.
gdzie <math>\tau (n )</math> to [[funkcja τ ]] (tau ), określająca liczbę dzielników liczby <math>n. </math>
⚫ : <math>\zeta^2(z)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\tau(n)}{n^z}</math>
⚫ gdzie <math>\
tau(
n)</math> to [[funkcja
τ]] (
tau)
, określająca liczbę
dzielników liczby <math>
n</math>
.
== Niektóre wartości ==
== Niektóre wartości ==
[[Plik:Riemann zeta-function x greater 1.png|right|thumb|260px|Wykres funkcji dzeta Riemanna dla x > 1]]
[[Plik:Riemann zeta-function x greater 1.png|thumb|260px|Wykres funkcji dzeta Riemanna dla x > 1]]
⚫ :
<math>\zeta(-1) =\
infty </math>
: lub
⚫ :<math>\zeta(-1) =\
infin</math>
⚫ :
<math>\zeta(-1) = -\frac{1}{12} \approx -0{,}0833333</math>
:'''lub'''
⚫ :<math>\zeta(-1) = -\frac{1}{12} \approx -0{,}0833333</math>
: <math>\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1{,}6449341</math>
: <math>\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1{,}6449341</math>
Linia 71:
Linia 61:
: <math>\zeta(10) = 1 + \frac{1}{2^{10}} + \frac{1}{3^{10}} + \ldots = \frac{\pi^{10}}{93555} \approx 1{,}0009946</math>
: <math>\zeta(10) = 1 + \frac{1}{2^{10}} + \frac{1}{3^{10}} + \ldots = \frac{\pi^{10}}{93555} \approx 1{,}0009946</math>
Ogólnie, dla <math>p\in\mathbb{N}</math>, mamy:
Ogólnie, dla <math>p\in\mathbb{N}, </math> mamy:
: <math>\zeta(2p) = \frac{(-1)^{p+1} \cdot B_{2p} \cdot (2\pi)^{2p}}{2 \cdot (2p){!}}</math>
: <math>\zeta(2p) = \frac{(-1)^{p+1} \cdot B_{2p} \cdot (2\pi)^{2p}}{2 \cdot (2p)!}, </math>
gdzie <math>B_{2p}</math> to [[Liczby Bernoulliego|liczba Bernoulliego]] z indeksem <math>2p</math>.
gdzie <math>B_{2p}</math> to [[Liczby Bernoulliego|liczba Bernoulliego]] z indeksem <math>2p. </math>
== Zobacz też ==
== Zobacz też ==
* [[funkcja eta Dirichleta]]
* [[Funkcja η| funkcja eta Dirichleta]]
* [[regularyzacja funkcją dzeta]]
* [[regularyzacja funkcją dzeta]]
Funkcja ζ (dzeta) Riemanna – funkcja specjalna zdefiniowana jako przedłużenie analityczne poniższej sumy:
ζ
(
z
)
=
∑
n
=
1
∞
(
1
n
)
z
.
{\displaystyle {\zeta }(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}\right)^{z}.}
Szereg ten jest zbieżny dla takich
z
,
{\displaystyle z,}
część rzeczywista jest większa od 1.
Za pomocą metod analizy matematycznej sumę tę daje się rozszerzyć na wszystkie liczby zespolone , poza
z
=
1.
{\displaystyle z=1.}
ζ
(
z
)
=
1
1
−
2
1
−
z
∑
n
=
0
∞
1
2
n
+
1
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
(
n
k
)
(
k
+
1
)
−
z
.
{\displaystyle {\zeta }(z)={\frac {1}{1-2^{1-z}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+1)^{-z}.}
Aby znaleźć wartość funkcji dzeta dla
z
{\displaystyle z}
ζ
(
z
)
=
2
z
π
z
−
1
sin
(
π
z
2
)
Γ
(
1
−
z
)
ζ
(
1
−
z
)
,
{\displaystyle {\zeta }(z)=2^{z}\pi ^{z-1}\sin \left({\frac {\pi z}{2}}\right)\Gamma (1-z){\zeta }(1-z),}
gdzie
Γ
{\displaystyle \Gamma }
funkcja Γ (gamma) Eulera.
Z funkcją dzeta związany jest jeden z najważniejszych problemów współczesnej matematyki – hipoteza Riemanna .
Wykres funkcji ζ Dziedzina liczb rzeczywistych
Dziedzina liczb zespolonych Wykres funkcji ζ(z ) na płaszczyźnie zespolonej uzyskany techniką kolorowania dziedziny .
Ważne wzory związane z funkcją ζ Związek funkcji dzeta z liczbami pierwszymi (dla
R
e
(
z
)
>
1
{\displaystyle Re(z)>1}
ζ
(
z
)
=
∏
p
1
1
−
p
−
z
,
{\displaystyle {\zeta }(z)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-z}}},}
gdzie
p
{\displaystyle p}
Związek z liczbami Bernoulliego :
ζ
(
2
n
)
=
(
−
1
)
n
+
1
B
2
n
(
2
π
)
2
n
2
(
2
n
)
!
,
{\displaystyle {\zeta }(2n)=\left(-1\right)^{n+1}{\frac {B_{2n}\left(2\pi \right)^{2n}}{2\left(2n\right)!}},}
dla każdej liczby parzystej dodatniej
2
n
,
{\displaystyle 2n,}
B
k
{\displaystyle B_{k}}
k
{\displaystyle k}
−
n
:
{\displaystyle -n{:}}
ζ
(
−
n
)
=
−
B
n
+
1
n
+
1
.
{\displaystyle {\zeta }(-n)=-{\frac {B_{n+1}}{n+1}}.}
Zatem funkcja ζ przyjmuje wartość 0 dla każdej ujemnej liczby parzystej.
Związki z funkcjami teorioliczbowymi:
ln
ζ
(
z
)
=
z
∫
2
∞
π
(
x
)
x
(
x
z
−
1
)
d
x
,
{\displaystyle \ln \zeta (z)=z\int _{2}^{\infty }{\frac {\pi (x)}{x(x^{z}-1)}}dx,}
gdzie
π
(
x
)
{\displaystyle \pi (x)}
funkcja π (pi) określająca liczbę liczb pierwszych nie większych od
x
{\displaystyle x}
ζ
2
(
z
)
=
∑
n
=
1
∞
τ
(
n
)
n
z
,
{\displaystyle \zeta ^{2}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n)}{n^{z}}},}
gdzie
τ
(
n
)
{\displaystyle \tau (n)}
funkcja τ (tau), określająca liczbę dzielników liczby
n
.
{\displaystyle n.}
Niektóre wartości Wykres funkcji dzeta Riemanna dla x > 1
ζ
(
−
1
)
=
∞
{\displaystyle \zeta (-1)=\infty }
lub
ζ
(
−
1
)
=
−
1
12
≈
−
0,083
3333
{\displaystyle \zeta (-1)=-{\frac {1}{12}}\approx -0{,}0833333}
ζ
(
2
)
=
1
+
1
2
2
+
1
3
2
+
…
=
π
2
6
≈
1,644
9341
{\displaystyle \zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1{,}6449341}
ζ
(
4
)
=
1
+
1
2
4
+
1
3
4
+
…
=
π
4
90
≈
1,082
3232
{\displaystyle \zeta (4)=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}\approx 1{,}0823232}
ζ
(
6
)
=
1
+
1
2
6
+
1
3
6
+
…
=
π
6
945
≈
1,017
3431
{\displaystyle \zeta (6)=1+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}\approx 1{,}0173431}
ζ
(
8
)
=
1
+
1
2
8
+
1
3
8
+
…
=
π
8
9450
≈
1,004
0774
{\displaystyle \zeta (8)=1+{\frac {1}{2^{8}}}+{\frac {1}{3^{8}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{8}}{9450}}\approx 1{,}0040774}
ζ
(
10
)
=
1
+
1
2
10
+
1
3
10
+
…
=
π
10
93555
≈
1,000
9946
{\displaystyle \zeta (10)=1+{\frac {1}{2^{10}}}+{\frac {1}{3^{10}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{10}}{93555}}\approx 1{,}0009946}
Ogólnie, dla
p
∈
N
,
{\displaystyle p\in \mathbb {N} ,}
ζ
(
2
p
)
=
(
−
1
)
p
+
1
⋅
B
2
p
⋅
(
2
π
)
2
p
2
⋅
(
2
p
)
!
,
{\displaystyle \zeta (2p)={\frac {(-1)^{p+1}\cdot B_{2p}\cdot (2\pi )^{2p}}{2\cdot (2p)!}},}
gdzie
B
2
p
{\displaystyle B_{2p}}
liczba Bernoulliego z indeksem
2
p
.
{\displaystyle 2p.}
Zobacz też Linki zewnętrzne {{Kontrola autorytatywna }} Nieznane pola: "WORLDCATID".
