Funkcja dzeta Riemanna

Funkcja ζ (dzeta) Riemanna – funkcja specjalna zdefiniowana jako przedłużenie analityczne poniższej sumy:

${\zeta }(z):=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}\right)^{z}.$

Szereg ten jest zbieżny dla takich $z,$ których część rzeczywista jest większa od 1 (Re z > 1).

Za pomocą metod analizy matematycznej sumę tę daje się rozszerzyć na wszystkie liczby zespolone, poza $z=1.$ Przyjmuje ona wtedy postać:

${\zeta }(z)={\frac {1}{1-2^{1-z}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+1)^{-z}.$

Aby znaleźć wartość funkcji dzeta dla $z$ o części rzeczywistej mniejszej od 1, można posłużyć się również wzorem rekurencyjnym:

${\zeta }(z)=2^{z}\pi ^{z-1}\sin \left({\frac {\pi z}{2}}\right)\Gamma (1-z){\zeta }(1-z),$

gdzie $\Gamma$ to funkcja Γ (gamma) Eulera.

Z funkcją dzeta związany jest jeden z najważniejszych problemów współczesnej matematyki – hipoteza Riemanna.

Wykres funkcji ζ

Dziedzina liczb rzeczywistych

Dziedzina liczb zespolonych

Wykres funkcji ζ(z) na płaszczyźnie zespolonej uzyskany techniką kolorowania dziedziny.

Ważne wzory związane z funkcją ζ

Związek funkcji dzeta z liczbami pierwszymi (dla $Re(z)>1$):

${\zeta }(z)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-z}}},$

gdzie $p$ oznacza ciąg kolejnych liczb pierwszych.

Związek z liczbami Bernoulliego:

${\zeta }(2n)=\left(-1\right)^{n+1}{\frac {B_{2n}\left(2\pi \right)^{2n}}{2\left(2n\right)!}},$

dla każdej liczby parzystej dodatniej $2n,$ gdzie $B_{k}$ to $k$-ta liczba Bernoulliego. Ponadto dla liczb całkowitych ujemnych $-n{:}$

${\zeta }(-n)=-{\frac {B_{n+1}}{n+1}}.$

Zatem funkcja ζ przyjmuje wartość 0 dla każdej ujemnej liczby parzystej.

Związki z funkcjami teorioliczbowymi:

$\ln \zeta (z)=z\int _{2}^{\infty }{\frac {\pi (x)}{x(x^{z}-1)}}dx,$

gdzie $\pi (x)$ to funkcja π (pi) określająca liczbę liczb pierwszych nie większych od $x$

$\zeta ^{2}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n)}{n^{z}}},$

gdzie $\tau (n)$ to funkcja τ (tau), określająca liczbę dzielników liczby $n.$

Niektóre wartości

Wykres funkcji dzeta Riemanna dla x > 1

$\zeta (-1)=-{\frac {1}{12}}\approx -0{,}0833333$

$\zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1{,}6449341$

$\zeta (4)=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}\approx 1{,}0823232$

$\zeta (6)=1+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}\approx 1{,}0173431$

$\zeta (8)=1+{\frac {1}{2^{8}}}+{\frac {1}{3^{8}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{8}}{9450}}\approx 1{,}0040774$

$\zeta (10)=1+{\frac {1}{2^{10}}}+{\frac {1}{3^{10}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{10}}{93555}}\approx 1{,}0009946$

Ogólnie, dla $p\in \mathbb {N} ,$ mamy:

$\zeta (2p)={\frac {(-1)^{p+1}\cdot B_{2p}\cdot (2\pi )^{2p}}{2\cdot (2p)!}},$

gdzie $B_{2p}$ to liczba Bernoulliego z indeksem $2p.$

Zobacz też

• funkcja eta Dirichleta
• regularyzacja funkcją dzeta
• Problem bazylejski

Bibliografia

• E.C.E.C. Titchmarsh E.C.E.C., The theory of the Riemann zeta-function, second edition, Oxford: Clarendon Press, 1986  (ang.).
• LechL. Maligranda LechL., Szeregi w pracach Eulera, „Antiquitates Mathematicae”, 2, 2008, s. 47-67, DOI: 10.14708/am.v2i1.609, ISSN 1898-5203, URN: urn:nbn:se:ltu:diva-13072 .

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Riemann Zeta Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Grant Sanderson, Visualizing the Riemann zeta function and analytic continuation, kanał 3blue1brown na YouTube, 9 grudnia 2016 [dostęp 2021-03-15].