Elipsa

Elipsa otrzymana jako przecięcie stożka płaszczyzną.

Elipsa (z gr. ἔλλειψις elleipsis – „brak, opuszczenie”) – w geometrii ograniczony przypadek krzywej stożkowej, czyli krzywej będącej częścią wspólną powierzchni stożkowej oraz przecinającej ją płaszczyzny. Jest to również miejsce geometryczne wszystkich tych punktów płaszczyzny, dla których suma odległości od dwóch ustalonych punktów jest stałą.

Elipsy powstają także jako obrazy okręgu lub sfery w rzucie równoległym i pewnych przypadkach rzutu perspektywicznego. W istocie okręgi są przypadkami szczególnymi elips. Elipsa jest również domkniętym i ograniczonym przypadkiem krzywej stopnia drugiego danej wzorem uwikłanym lub krzywej wymiernej drugiego stopnia. Jest to zarazem najprostsza figura Lissajous powstająca, gdy drgania poziome i pionowe mają tę samą częstotliwość.

Elementy

Elipsa

Elipsa to gładka krzywa zamknięta symetryczna względem jej środka. Odległość między punktami antypodycznymi elipsy czyli parami punktów, których środek odcinka przez nie wyznaczany jest zarazem środkiem symetrii elipsy, jest maksymalna i minimalna wzdłuż dwóch prostopadłych kierunków – osi wielkiej (średnicy transwersalnej) oraz osi małej (średnicy sprzężonej).

Półoś wielka i półoś mała (oznaczone na rysunku odpowiednio przez $a$ i $b$) są połowami odpowiednio osi wielkiej i małej. Jeżeli $a$ jest równe $b$, to ogniska pokrywają się ze środkiem i wówczas elipsa staje się okręgiem o promieniu $r = a = b$.

Na osi wielkiej, po obu stronach środka, znajdują się dwa wyróżnione punkty, $F_1$ oraz $F_2$, takie że suma odległości od dowolnego punktu elipsy do wspomnianych punktów jest stała, a przy tym równa osi wielkiej ($2a$). Każdy z tych dwóch punktów nazywany jest ogniskiem elipsy.

Mimośród (ekscentryczność) elipsy, oznaczany zwykle symbolami $\varepsilon$ lub $e$, to stosunek odległości między ogniskami i długości osi wielkiej. Mimośród zawiera się w przedziale od 0 do 1, przy czym jest on równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy $a = b$, kiedy to elipsa jest okręgiem. Gdy mimośród dąży do 1, elipsa wydłuża się, a współczynnik $\tfrac{a}{b}$ dąży do nieskończoności. Odległość $ae$ od ogniska do środka nazywana jest mimośrodem liniowym (ekscentrycznością liniową) elipsy.

Kreślenie

Elipsa narysowana za pomocą dwóch szpilek, pętli oraz długopisu.

Model elipsografu.

Metoda szpilek i sznurka

Elipsę można nakreślić za pomocą dwóch szpilek (pinezek), kawałka sznurka i rysika (ołówka, długopisu):

Należy wetknąć szpilki w dwa punkty papieru, które staną się ogniskami elipsy, następnie zawiązać sznurek w luźną pętlę wokół szpilek, po czym naciągnąć sznurek za pomocą rysika tak, by powstał trójkąt. Elipsa zostanie nakreślona poprzez przesuwanie rysika po powierzchni kartki przy zachowaniu napięcia sznurka.

Aby nakreślić elipsę wpisaną w dany prostokąt, styczną do jego czterech boków w ich środkach, należy najpierw określić położenie ognisk i długość pętli:

Niech $A, B, C, D$ będą wierzchołkami prostokąta danymi w porządku odwrotnym do wskazówek zegara, gdzie $AB$ jest jednym z dłuższych boków. Należy nakreślić okrąg o środku w $A$ i promieniu równym długości krótszego boku $AD$, a następnie wyznaczyć styczną do okręgu przechodzącą przez $B$. Długość $L$ odcinka od $B$ do punktu styczności jest odległością między ogniskami. Należy następnie nakreślić dwie proste prostopadłe przez środek prostokąta równoległe do jego boków; będą to osie wielka i mała elipsy. Ogniska rozmieszczone są symetrycznie na osi wielkiej w odległości $\tfrac{L}{2}$ od środka.

Aby dostosować długość pętli sznurka należy wetknąć szpilkę w jedno z ognisk, drugą zaś w przeciwny (położony dalej) koniec osi głównej, po czym wykonać ścisłą pętlę wokół dwóch szpilek (tak, by była napięta). Oznacza to, że długość sznurka jest określona wzorem $k_k=2c+2a$, gdzie 2c jest długością ogniskowej a 2a to długość osi wielkiej.

Inne metody

Elipsa może być także nakreślona za pomocą linijki, ekierki oraz rysika:

Należy nakreślić dwie proste prostopadłe $M, N$ na papierze; będą to osie wielka i mała elipsy. Następnie na linijce należy oznaczyć punkty $A, B, C$. Obracając jedną ręką linijkę tak, by punkt $A$ zawsze leżał na prostej $M$, a punkt $B$ na prostej $N$ i kreśląc rysikiem za pomocą drugiej ręki na papierze śladem punktu $C$ na linijce otrzymuje się elipsę.

Metoda ta może być wykorzystana przy cięciu elips z materiałów drewnianych za pomocą frezarek (ręcznych). Innym przyrządem korzystającym z tej zasady jest elipsograf: linijka zastąpiona jest prętem z uchwytem na rysik (punkt $C$) z jednej strony oraz dwoma przesuwnymi bolcami, które przesuwają się w dwóch prostopadłych prowadnicach wyciętych płycie (zob. też nothing grinder).

Geometria algebraiczna

Elipsa w pozycji kanonicznej opisana jest w układzie współrzędnych kartezjańskich $(x, y)$ równaniem

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,$

gdzie $a$ i $b$ są półosiami.

Elipsa w postaci parametrycznej dana jest jako

$\begin{cases} x = a\cos t, \\ y = b\sin t, \end{cases}$

gdzie $0 \leqslant t < 2\pi$

W układzie współrzędnych biegunowych $(r, \theta)$ elipsę opisuje wzór

$r^2 = \frac{b^2}{1 - e^2 \cos^2 \theta},$

gdzie $e^2 = \tfrac{a^2 - b^2}{a^2}$ to kwadrat mimośrodu.

Własności

Pole i obwód

Pole powierzchni ograniczonej przez elipsę:

$S=\pi a b\,$

Obwód elipsy jest dany tzw. całką eliptyczną i nie daje się w ogólnym przypadku zapisać w postaci algebraicznej. Przybliżony wzór na obwód elipsy

$\ell\approx\pi \left({{3 \over 2}(a+b)-\sqrt{ab}}\right)$

Dokładny wzór na obwód elipsy wyraża się następująco ($E$ to zupełna całka eliptyczna drugiego rodzaju, a $\varepsilon$ to mimośród elipsy):

$\ell = 4aE(\varepsilon^2) = 4aE\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right) = 4a\int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{1-\varepsilon^2 \sin^2\theta} \ d\theta = 4a\int_0^1 \frac{\sqrt{1-\varepsilon^2 t^2} }{\sqrt{1-t^2}}\ dt$

Istnieją różne konwencje zapisu funkcji specjalnej $E$. W niektórych należy przekazać jako argument nie kwadrat mimośrodu, ale sam mimośród. Pamiętać należy jednak, że pod samym znakiem całki $\varepsilon$ występuje w drugiej potędze - nigdy w pierwszej lub czwartej.

Gdy chcemy uzyskać długość łuku elipsy, nie cały obwód, musimy skorzystać z niezupełnej całki eliptycznej drugiego rodzaju.

Rys. 1 - własność stycznej

Styczna

Styczna w punkcie P do elipsy o ogniskach $F_1,\ F_2\;$ jest dwusieczną kąta zewnętrznego trójkąta $\Delta F_1PF_2\;$. Jest to równoznaczne z tym, że promień świetlny wychodzący z jednego ogniska elipsy po odbiciu (zgodnie z zasadą, że kąt padania jest równy kątowi odbicia) od krawędzi elipsy przejdzie przez drugie ognisko (kolorowe kąty na rysunku 1 mają równe miary).

Dowód własności stycznej

Dowód

Załóżmy, że dwusieczna tego kąta nie jest styczną, czyli przecina elipsę w pewnym punkcie $Q$ różnym od $P.$

Niech $F_1'\;$ będzie odbiciem $F_1\;$ w dwusiecznej. Z symetrii wynika, że

$F_1P=F_1'P,\;$ więc $F_2P+PF_1'=2a\,$

gdzie $a$ oznacza długość dużej półosi elipsy. Podobnie pokazujemy, że

$F_2Q+QF_1'=2a\,$

Ponieważ kąt $F_1 P F_1'\;$ jest kątem zewnętrznym trójkąta $F_1 P F_2,\;$ to punkty $F_1',P,F_2\;$ są współliniowe, więc $F_1',Q,F_2\;$ są niewspółliniowe.

Stąd $F_2P + PF_1' < F_2Q + QF_1'\;$. Jest to sprzeczne z $F_2P + PF_1' =2a= F_2Q + QF_1'\;$.

Zakładając nieprawdziwość tezy, doszliśmy do sprzeczności, zatem teza została udowodniona.

Rys. 2 - własność dwóch stycznych

Dwie styczne

Gdy z punktu $S\;$ leżącego na zewnątrz elipsy poprowadzimy dwie proste, styczne do elipsy w punktach $K\;$ i $L,\;$ to

$\angle KSF_1 = \angle LSF_2$

$\angle KF_1S=\angle LF_1S$

(kąty o tych samych kolorach na rysunku 2 mają równe miary).

Dowód pierwszej równości

Dowód własności dwóch stycznych

Odbijamy elipsę w obu stycznych. Ogniska obrazów oznaczamy odpowiednio przez $F_1',\ F_1'',\ F_2',\ F_2''.\;$

Pamiętając własność stycznej udowodnioną powyżej, łatwo otrzymujemy, że $F_2F_1'=F_2F_1''=2a\;$ ($a\;$ - duża półoś). Oprócz tego, $SF_1'=SF_1'',\;$ bo są obrazami tego samego odcinka.

Zatem $\Delta SF_2F_1'=\Delta SF_2F_1'',\;$

więc $\angle SF_2F_1'=\angle SF_2F_1'',\;$

oraz $\angle F_2SF_1'=\angle F_2SF_1''.\;$

$\angle F_2SF_1''=\angle KSL+\angle F_1''SL-\angle KSF_2,\;$

$\angle F_2SF_1'=\angle KSL'+\angle F_2SK-\angle L'SF_1',\;$ gdzie $L'\;$ - odbicie $L\;$ w $SK.\;$

Lewe części tych równości są równe, oraz, oczywiście, $\angle KSL=\angle KSL'$; stąd $\angle F_2SK-\angle L'SF_1'=\angle F_1''SL-\angle KSF_2,\;$

czyli $2\angle KSF_2=\angle F_1''SL+\angle L'SF_1'.$

Ponieważ $\angle L'SF_1'=\angle F_1''SL,$

to $\angle KSF_2=\angle F_1''SL=\angle L'SF_1'=\angle LSF_1.$

Więc mamy $\angle KSF_2=\angle LSF_1,$ a stąd, oczywiście, wynika równość $\angle KSF_1 = \angle LSF_2,$ którą trzeba było udowodnić.

Rys. 3 - trójkąt opisany

Trójkąt opisany

Gdy punkty $F_1,\ F_2$ leżące wewnątrz trójkąta ABC spełniają

$\angle CBF_1 = \angle ABF_2,$

$\angle BAF_1 = \angle CAF_2,$

to istnieje elipsa o ogniskach $F_1,\ F_2$ wpisana w trójkąt, czyli styczna do jego trzech boków (rys. 3). Wtedy zachodzi również $\angle BCF_1 = \angle ACF_2.$ Szczególnym przypadkiem takiej elipsy jest elipsa o ogniskach w ortocentrum i środku okręgu opisanego na trójkącie.

Dowód

Możemy tak dobrać dużą półoś elipsy, żeby była styczna do $AB.$ Z twierdzenia odwrotnego do powyższej własności o dwóch stycznych (które jest oczywistą konsekwencją tej własności) mamy, że jest ona styczna do pozostałych boków trójkąta, bo zachodzą równości odpowiednich kątów. Korzystając ponownie z własności stycznych otrzymujemy równość $\angle BCF_1 = \angle ACF_2.$

Dokonując rachunku na kątach otrzymujemy powyższe równości dla ortocentrum i środka okręgu opisanego, z czego wynika, że istnieje elipsa wpisana w trójkąt o takich ogniskach.

Rys. 4 - okrąg opisany

Okrąg opisany

Niech X będzie rzutem prostokątnym ogniska elipsy na styczną do niej. Miejscem geometrycznym wszystkich punktów $X$ jest okrąg o środku w środku odcinka łączącego ogniska i o promieniu równym dużej półosi elipsy (czerwony okrąg na rys. 4).

Dowód

Dowód twierdzenia o okręgu opisanym

Poprowadźmy dwie równoległe styczne do elipsy w punktach $X,\ Y.$ Są one symetryczne względem środka S elipsy, więc $F_1XF_2Y\;$ jest równoległobokiem.

Niech $A,\ D$ będą rzutami prostokątnymi ognisk $F_1,\ F_2$ na styczną w $Y,$ zaś $B,\ C$ na styczną w $X.$ Odbijamy $X$ w prostej $AB$ otrzymując punkt$X'.$

Punkty $B,\ D$ są symetryczne względem $S,$ więc $BX'=BX=YD.\;$

Stąd $BDYX'$ jest równoległobokiem, czyli $BD=YX'.\;$

Ale $YX'=YF_1+F_1X'=YF_1+F_1X.\;$

Więc $BD=YF_1+YF_2=2a,\;$ gdzie $a$ - duża półoś (korzystamy z równości wynikających z istnienia odpowiednich równoległoboków).

BD jest średnicą okręgu opisanego na prostokącie ABCD, którego środkiem jest S więc $BS=DS=a\;$, co należało pokazać.

Uogólnienia

Elipsa jest szczególnym przypadkiem superelipsy. Odpowiednikiem elipsy w przestrzeni trójwymiarowej jest elipsoida.

Zobacz też

• całka eliptyczna