Izometria

Przykład izometrii: obrót jako złożenie dwóch odbić.

Izometria (gr. isos – równy, métron – miara), także przekształcenie izometryczne – funkcja zachowująca odległości między punktami przestrzeni metrycznej. Jest to więc izomorfizm izometryczny. W geometrii figury, między którymi istnieje izometria (są izometryczne), nazywane są przystającymi.

Geometria euklidesowa

Przekształcenie $f$ płaszczyzny euklidesowej lub przestrzeni euklidesowej nazywa się izometrią, jeżeli zachowuje odległość dowolnych dwóch jej punktów $A,B,$ tzn.

$A^{*}B^{*}=AB,$

gdzie $X^{*}=f(X)$ oznacza obraz punktu $X.$

Każde dwa przystające odcinki są równej długości, a każde dwa przystające kąty są jednakowej rozwartości (i na odwrót: równość odcinków i miar kątów oznacza, że są one przystające). Podobnie ma się rzecz z okręgami o równych promieniach. Dowolne dwie proste i półproste są przystające. Izometrie zachowują także współliniowość punktów i ich kolejność na prostej. Więcej o przystawaniu trójkątów można znaleźć w artykule dot. przystawania. Przystawanie wielokątów opisuje się dzieląc je na trójkąty. Ważnym niezmiennikiem izometrii jest pole i objętość figury geometrycznej.

Izometria przestrzeni euklidesowej, która jest przekształceniem liniowym jest też przekształceniem ortogonalnym.

Parzystość

Pojęcie parzystości izometrii jest blisko związane z pojęciem orientacji. Na prostej można wyróżnić dwa „kierunki”, mianowicie w „lewo” i w „prawo”. Jest to dość intuicyjne: na płaszczyźnie należy wziąć pod uwagę trójkąt – jego wierzchołki można opisać od „zgodnie z ruchem wskazówek zegara” lub na odwrót. W przestrzeni, co może być zaskakujące, również wyróżnia się tylko dwie orientacje: „prawoskrętną” i „lewoskrętną” (więcej, w każdej przestrzeni euklidesowej wyróżnia się dokładnie dwie orientacje). Ponieważ każda przestrzeń euklidesowa ma bazę kanoniczną, to właśnie orientację zgodną z nią nazywa się dodatnią, a niezgodną – ujemną (przyjęło się określać dodatnimi orientacje: „w prawo”, „przeciwnie do ruchu wskazówek zegara” oraz „prawoskrętną”).

Na płaszczyźnie każda symetria osiowa zmienia orientację. Izometrię płaszczyzny można przedstawić jako złożenie co najwyżej trzech symetrii osiowych. Nieparzysta liczba symetrii w tej postaci powoduje zmianę orientacji – takie izometrie nazywa się nieparzystymi. Jeżeli daną izometrię da się przedstawić jako złożenie parzystej (lub zerowej) liczby symetrii – taka izometria nie zmienia orientacji – to nazywa się ją parzystą.

Podobnie ma się rzecz z izometriami przestrzeni trójwymiarowej – każdą z nich można przedstawić w postaci złożenia co najwyżej czterech symetrii płaszczyznowych, które zmieniają orientację przestrzeni. Te, które można przedstawić jako złożenie nieparzystej liczby symetrii nazywa się nieparzystymi, pozostałe zaś – parzystymi.

Algebraicznie można opisać jak następuje. Wyznacznik izometrii (macierzy przekształcenia izometrycznego) jest równy $1$ bądź $-1.$ Te, które mają wyznacznik równy $1$ zachowują orientację, a więc są parzyste, te które mają wyznacznik równy $-1$ zmieniają orientację, czyli są nieparzyste. Wówczas $\det \colon \operatorname {Iso} \to \{-1,1\}$ jest homomorfizmem grupy izometrii w grupę dwuelementową. Jądrem tego przekształcenia są izometrie parzyste i jako takie tworzą podgrupę normalną w grupie izometrii. Ponieważ identyczność jest parzysta, to izometrie nieparzyste nie stanowią grupy, generują one jednak całą grupę izometrii.

Klasyfikacja izometrii

Prosta

Na prostej można wyróżnić następujące rodzaje izometrii:

• parzyste
  • tożsamość,
  • przesunięcie (translacja);
• nieparzyste
  • symetria środkowa.

Płaszczyzna

Na płaszczyźnie można wyróżnić następujące rodzaje izometrii:

• parzyste
  • tożsamość,
  • przesunięcie (translacja),
  • symetria środkowa,
  • obrót wokół punktu;
• nieparzyste
  • symetria osiowa,
  • symetria z poślizgiem (o wektor niezerowy).

Przestrzeń trójwymiarowa

W przestrzeni wyróżnia się następujące rodzaje izometrii:

• parzyste
  • tożsamość,
  • przesunięcie (translacja),
  • symetria osiowa,
  • symetria osiowa z poślizgiem,
  • obrót wokół prostej,
  • ruch śrubowy (obrót wokół prostej z przesunięciem);
• nieparzyste
  • symetria płaszczyznowa,
  • symetria płaszczyznowa z poślizgiem (o wektor niezerowy),
  • symetria środkowa,
  • symetria obrotowa (obrót wokół prostej z symetrią).

Przestrzenie metryczne

Niech $(X,d_{X})$ i $(Y,d_{Y})$ będą przestrzeniami metrycznymi. Odwzorowanie $f\colon X\to Y$ nazywa się izometrią (bądź odwzorowaniem zachowującym odległość), jeżeli dla dowolnych $a,b\in X$ spełniony jest warunek

$d_{Y}(f(a),f(b))=d_{X}(a,b).$

Odwzorowanie zachowujące odległość jest koniecznie iniektywne (różnowartościowe) oraz ciągłe. Każda izometria przestrzeni metrycznych jest zanurzeniem homeomorficznym.

Przestrzenie metryczne X i Y nazywa się izometrycznymi, jeżeli istnieje izometria z X na Y. Zbiór izometrii przestrzeni metrycznej w siebie jest grupą względem składania przekształceń nazywana grupą izometrii będącą podgrupą grupy wszystkich bijekcji danej przestrzeni metrycznej w siebie.

Każda przestrzeń metryczna jest izometryczna z gęstym podzbiorem zupełnej przestrzeni metrycznej.

Przykłady

• Przekształcenie identycznościowe przestrzeni metrycznej w siebie jest izometrią.
• Dowolne odbicie, przesunięcie i obrót są izometriami globalnymi przestrzeni euklidesowych. Zob. grupa euklidesowa.
• Izometryczne przekształcenia liniowe $\mathbb {C} ^{n}$ w siebie opisywane są przez macierze unitarne. Izometryczny, suriektywny operator liniowy na przestrzeni Hilberta jest nazywany operatorem unitarnym.
• W przestrzeni euklidesowej $\mathbb {R} ^{2}$ przekształcenie określone wzorem

$(x,y)\to (x,-y)$

jest izometrią.

• Przekształcenie przestrzeni ℓ₁ w siebie określone wzorem

$(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )\to (0,x_{1},x_{2},x_{3},\dots )$

jest izometrią, lecz nie jest surjekcją.

Izometrie liniowe

Dla danych dwóch przestrzeni unormowanych $V$ oraz $W$ izometrią liniową nazywa się takie przekształcenie liniowe $f\colon V\to W,$ które zachowuje normę:

$\|f(v)\|=\|v\|$

dla wszystkich $v\in V.$ Izometrie liniowe są przekształceniami zachowującymi odległości w powyższym sensie. Są one izometriami globalnymi wtedy i tylko wtedy, gdy są suriekcjami.

Z twierdzenia Mazura-Ulama wynika, że dowolna izometria między przestrzeniami unormowanymi nad $\mathbb {R}$ jest przekształceniem afinicznym.

Uogólnienia

• Dla ustalonej dodatniej liczby rzeczywistej $\varepsilon$ odwzorowanie $f\colon X\to Y$ przestrzeni metrycznych nazywa się $\varepsilon$-izometrią (lub aproksymacją Hausdorffa), jeżeli
  1. dla $x,x'\in X$ zachodzi $|d_{Y}(f(x),f(x'))-d_{X}(x,x')|<\varepsilon$ oraz
  2. dla każdego $y\in Y$ istnieje punkt $x\in X,$ że $d_{Y}(y,f(x))<\varepsilon .$

Innymi słowy $\varepsilon$-izometria zachowuje odległości wewnątrz $\varepsilon$ i nie pozostawia żadnego elementu przeciwdziedziny w odległości większej niż $\varepsilon$ od obrazu elementu dziedziny. Uwaga: od $\varepsilon$-izometrii nie wymaga się, by były ciągłe.

• Innym użytecznym uogólnieniem jest quasi-izometria.

Twierdzenie Beckmana-Quarlesa

Twierdzenie Beckmana-Quarlesa mówi, że dowolne przekształcenie przestrzeni euklidesowej wymiaru co najmniej dwa w siebie, które zachowuje własność bycia w odległości jednostkowej musi być izometrią.

Zobacz też

• rzut izometryczny

Bibliografia

• Marek Kordos, Lesław Włodzimierz Szczerba: Geometria dla nauczycieli. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.

Linki zewnętrzne

• JoannaJ. Jaszuńska JoannaJ., Mały wybór? I dobrze!, „Delta”, listopad 2015, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-10-30] .
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Isometry, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-26].
• Isometric mapping (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-26].