Operator rzutowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Operator rzutowyliniowy i ciągły operator przestrzeni Hilberta, którego złożenie z samym sobą jest dalej nim samym oraz jego obraz jest dopełnieniem ortogonalnym jądra.

Definicja[edytuj]

Niech będzie przestrzenią Hilberta. Liniowy i ciągły operator nazywamy

  • operatorem idempotentnym wtedy i tylko wtedy, gdy
  • operatorem rzutowym wtedy i tylko wtedy, gdy jest operatorem idempotentnym oraz

Warunki równoważne[edytuj]

Jeśli jest operatorem idempotentym oraz , to następujące warunki są równoważne:

  1. jest operatorem rzutowym.
  2. jest operatorem samosprzężonym.
  3. jest operatorem normalnym.
  4. jest operatorem dodatnim.

Operator liniowy ciągły jest rzutowy wtedy i tylko wtedy, gdy

Często w mechanice kwantowej, operator rzutowy definiuje się jako operator idempotentny i samosprzężony (definicja równoważna). Spotyka się oznaczenia , a także

co oznacza rzutowanie na przestrzeń liniową rozpiętą przez elementy , tj.

Własności[edytuj]

  • Operator rzutowy jest operatorem dodatnim.
  • Widmo operatora rzutowego zawiera się w zbiorze
  • Ślad operatora rzutowego jest równy wymiarowi przestrzeni, na którą on rzutuje.

Przykłady[edytuj]

  • Jeśli jest przestrzenią Hilberta, to operator jednostkowy (identyczność) jest rzutowy.
  • Operator przestrzeni , reprezentowany przez macierz jest rzutowy.
  • Operator przestrzeni , zadany przez macierz

jest idempotentny, ale nie jest samosprzężony.

Bibliografia[edytuj]

  • F.W. Gehring, P.R. Halmos, C.C Moore: A Course in Functional Analysis. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1985.