Ciąg Cauchy’ego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Ciąg Cauchy'ego)
Skocz do: nawigacja, szukaj
Wykres ciągu Cauchy’ego (xn) oznaczono niebieskim kolorem (indeks na osi odciętych, wartość na osi rzędnych). Jeżeli przestrzeń zawierająca ciąg jest zupełna, to jego granica istnieje.
Ciąg, który nie jest Cauchy’ego. Elementy ciągu nie zbliżają się do siebie wraz z jego postępem.

Ciąg Cauchy’egociąg elementów przestrzeni metrycznej (np. zbioru liczb rzeczywistych), którego dwa dowolne elementy, jeśli mają dostatecznie wysokie numery, są dowolnie blisko siebie. O ciągu, który jest ciągiem Cauchy’ego, mówi się też, że spełniają warunek Cauchy’ego. Nazwa pojęć pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka, Augustina Cauchy’ego.

Ponieważ definicja ciągu Cauchy’ego korzysta z pojęcia odległości, to pojęcie to w podanym sformułowaniu może być rozważane wyłącznie w przestrzeniach metrycznych. Uogólnia się je jednak na inne struktury matematyczne, m.in. na przestrzenie liniowo-topologiczne, przestrzenie jednostajne, czy też grupy.

Użyteczność ciągów Cauchy’ego polega przede wszystkim na tym, że w przestrzeni zupełnej (gdzie wszystkie ciągi tego typu są zbieżne), dają one użyteczne kryterium zbieżności zależne wyłącznie od wyrazów tego ciągu. Fakt ten wykorzystuje się często w algorytmach, zarówno teoretycznych, jak i stosowanych, gdzie można łatwo wykazać zbieżność procesu iteracji poprzez wskazanie ciągu Cauchy’ego złożonego z poszczególnych iteracji.

Ponieważ każda liczba rzeczywista jest granicą pewnego ciągu liczb wymiernych, a taki ciąg okazuje się ciągiem Cauchy’ego, więc ciągi takie posłużyły Georgowi Cantorowi do formalnej konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych.

Definicje formalne[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie ciągiem liczbowym, tj. . Ciąg jest ciągiem Cauchy’ego, jesli

.

Oznacza to, że wybierając dowolnie małą dodatnią liczbę rzeczywistą można, ustalić odpowiednio duży wskaźnik taki, że dowolne dwa wyrazy o wyższych wskaźnikach są odległe od siebie o mniej niż .


Pojęcie to można przenieść na dowolne przestrzenie metryczne.

Niech będzie przestrzenią metryczną i niech będzie ciągiem elementów tej przestrzeni. Ciąg jest ciągiem Cauchy’ego, jeśli

.

Definicję ciągu Cauchy’ego w przestrzeni metrycznej można wyrazić również za pomocą średnicy zbioru.

Niech będzie ciągiem elementów tej przestrzeni metrycznej i . Ciąg jest ciągiem Cauchy’ego, gdy

.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Ciąg liczbowy o wyrazie ogólnym jest ciągiem Cauchy’ego. Rzeczywiście, dla dowolnego wystarczy przyjąć . Wówczas dla zachodzi:
    .
  • Ciąg liczbowy o wyrazie ogólnym nie jest ciągiem Cauchy’ego. Niech np. , wówczas dla dowolnego dwa wyrazy ciągu spełniają

Własności[edytuj | edytuj kod]

W dowolnej przestrzeni metrycznej prawdziwe są zdania:

  • każdy ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy’ego,
  • każdy ciąg Cauchy’ego jest ograniczony,
  • ciąg Cauchy’ego mający punkt skupienia (zawierający podciąg zbieżny do ) jest zbieżny do [1].

W przestrzeniach euklidesowych (w szczególności w przestrzeni liczb rzeczywistych ) dodatkowo zachodzą własności:

  • ciąg punktów jest ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy każdy z ciągów jest ciągiem Cauchy’ego;
  • ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego.

Ciąg podstawowy[edytuj | edytuj kod]

Ciąg liczb wymiernych spełniający warunek Cauchy’ego nazywa się ciągiem podstawowym.

Każdy ciąg liczb wymiernych zbieżny do liczby wymiernej (w szczególności ciąg stały) jest ciągiem podstawowym. Np.

.

Jednak ciągi podstawowe obejmują szerszą klasę ciągów, także takich, które nie są zbieżne w . Takimi ciągami są np. wszystkie ciągi monotonicznie rosnące (malejące) i ograniczone z góry (z dołu). Np.

gdzie oznacza część całkowitą liczby

Jest to ciąg kolejnych przybliżeń dziesiętnych z dołu liczby π i jego granicą jest oczywiście liczba niewymierna.

Zbiór ciągów podstawowych jest zamknięty ze względu na sumy, różnice, iloczyny oraz ilorazy.

Ciągi podstawowe mają zastosowanie w konstrukcji liczb rzeczywistych w oparciu o liczby wymierne.

Zupełność[edytuj | edytuj kod]

W szczególności przestrzeń (z wartością bezwzględną) i przestrzeń (z metryką euklidesową) są zupełne.

Inne postacie[edytuj | edytuj kod]

Szeregi[edytuj | edytuj kod]

Ponieważ szeregi z definicji są ciągami sum częściowych, można rozważać warunek Cauchy’ego również dla nich.

Niech będzie przestrzenią Banacha, a ciągiem jej elementów. Szereg spełnia warunek Cauchy’ego, jeżeli

.

Szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego. W szczególności powyższa definicja obowiązuje dla . Przyjęcie w powyższym warunku daje definicję granicy ciągu do zera; tak osłabiony warunek Cauchy’ego nie pociąga zbieżności szeregu, lecz mimo wszystko pozostaje on prawdziwy, gdy ciąg jest zbieżny, dlatego nazywa się warunkiem koniecznym zbieżności szeregu (zob. warunek konieczny).

Przestrzenie liniowo-topologiczne[edytuj | edytuj kod]

W przestrzeniach liniowo-topologicznych ciąg Cauchy’ego można zdefiniować w naturalny sposób bez uciekania się do pojęcia metryki.

Ciąg punktów przestrzeni liniowo-topologicznej nazywa się ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia zera , istnieje taka liczba naturalna , że dla jest

.

W przestrzeni liniowo-topologicznej spełnione są własności obowiązujące w przestrzeniach metrycznych. Jeżeli topologia przestrzeni jest wyznaczona przez niezmienniczą na przesunięcia metrykę , to ciąg elementów tej przestrzeni jest ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego względem tej metryki.

W szczególności, przestrzeń liniowo-topologiczna jest przestrzenią Frécheta wtedy i tylko wtedy, gdy ma ona przeliczalną bazę lokalną i każdy ciąg Cauchy’ego punktów tej przestrzeni jest zbieżny.

Funkcje mierzalne[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Niech będzie pewną kulą w przestrzeni metrycznej ; z warunku Cauchy’ego dla ciągu wynika istnienie , dla którego dla , a ponieważ jest punktem skupienia to można wybrać , dla którego , skąd dla .

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Kołodziej Witold, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 1979.
  • Leja Franciszek, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1976.
  • Maurin Krzysztof, Analiza. Część I. Elementy, PWN, Warszawa 1976.
  • Musielak Helena, Musielak Julian, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 2000.
  • Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001.