Ciąg Cauchy’ego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Ciąg Cauchy'ego)
Skocz do: nawigacja, szukaj
Wykres ciągu Cauchy’ego (xn) oznaczono niebieskim kolorem (indeks na osi odciętych, wartość na osi rzędnych). Jeżeli przestrzeń zawierająca ciąg jest zupełna, to jego granica istnieje.
Ciąg, który nie jest Cauchy’ego. Elementy ciągu nie zbliżają się do siebie wraz z jego postępem.

Ciąg Cauchy’egociąg elementów przestrzeni metrycznej (np. zbioru liczb rzeczywistych) spełniających tzw. warunek Cauchy’ego. Nazwa pojęć pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka, Augustina Cauchy’ego.

W ogólności warunek Cauchy’ego mówi, iż kolejne elementy ciągu zbliżają się do siebie. Dokładniej: zaniedbując dostateczną (lecz nadal skończoną) liczbę elementów można ograniczyć odległości między pozostałymi elementami do odległości mniejszej niż jakakolwiek ustalona wcześniej wartość dodatnia.

Innymi słowy, wybierając ustaloną dodatnią liczbę rzeczywistą można, bez względu na to jak mała będzie wartość , wyrugować z ciągu Cauchy’ego pewną skończoną liczbę elementów, po których dowolna para pozostałych wyrazów będzie w odległości mniejszej niż .

Ponieważ definicja ciągu Cauchy’ego korzysta z pojęcia odległości, to pojęcie to w podanym sformułowaniu może być rozważane wyłącznie w przestrzeniach metrycznych. Uogólnia się je jednak na inne struktury matematyczne, m.in. na przestrzenie liniowo-topologiczne, przestrzenie jednostajne, czy też grupy.

Użyteczność ciągów Cauchy’ego polega przede wszystkim na tym, że w przestrzeni zupełnej (gdzie wszystkie ciągi tego typu są zbieżne), dają one użyteczne kryterium zbieżności zależne wyłącznie od wyrazów tego ciągu. Fakt ten wykorzystuje się często w algorytmach, zarówno teoretycznych, jak i stosowanych, gdzie można łatwo wykazać zbieżność procesu iteracji poprzez wskazanie ciągu Cauchy’ego złożonego z poszczególnych iteracji.

Przystanie na fakt, że każda liczba rzeczywista ma rozwinięcie dziesiętne, jest przyznaniem, że pewien ciąg Cauchy’ego liczb wymiernych (którego wyrazy są kolejnymi obcięciami rozszerzenia dziesiętnego) ma granicę będącą określoną liczbą rzeczywistą – zob. ciąg podstawowy. Na podobnej zasadzie ciągi Cauchy’ego posłużyły Georgowi Cantorowi do formalnej konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych.

Warunek Cauchy’ego[edytuj]

Liczby rzeczywiste
Niech będzie ciągiem liczbowym. Spełnia on warunek Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy
.
Przestrzenie metryczne
Niech będzie przestrzenią metryczną i niech będzie ciągiem elementów tej przestrzeni. Spełnia on warunek Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy
.
Definicję ciągu Cauchy’ego można wyrazić również za pomocą średnicy zbioru: jeżeli , to jest ciągiem Cauchy’ego, gdy
.

Własności[edytuj]

W dowolnej przestrzeni metrycznej prawdziwe są zdania:

  • każdy ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy’ego,
  • każdy ciąg Cauchy’ego jest ograniczony,
  • ciąg Cauchy’ego mający punkt skupienia (zawierający podciąg zbieżny do) jest zbieżny do [1].

W przestrzeniach euklidesowych (w szczególności dla liczb rzeczywistych) dodatkowo zachodzą własności:

  • ciąg punktów jest ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy każdy z ciągów jest ciągiem Cauchy’ego;
  • ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego.

Przykłady[edytuj]

  • Ciąg liczbowy o wyrazie ogólnym jest ciągiem Cauchy’ego, gdyż
dla . Wystarczy dla ustalonego przyjąć .
  • Ciąg liczbowy o wyrazie ogólnym nie jest ciągiem Cauchy’ego, bo dla ciąg ten jest nieograniczony, a na mocy drugiej własności ciąg Cauchy’ego jest ograniczony.

Ciąg podstawowy[edytuj]

Ciągiem podstawowym nazywa się ciąg Cauchy’ego liczb wymiernych. Ich głównym zastosowaniem jest konstrukcja liczb rzeczywistych w oparciu o liczby wymierne.

Ciągi liczb wymiernych stały, czy zbieżny do liczby wymiernej są podstawowe, np. podstawowy jest ciąg i ma on granicę równą .

Podstawowe są również ciągi monotonicznie rosnące (malejące) i ograniczone z góry (z dołu). W ogólności każdy ciąg podstawowy jest ograniczony.

Ciąg przybliżeń dziesiętnych dowolnej liczby rzeczywistej również jest ciągiem podstawowym. Na przykład ciąg

kolejnych przybliżeń liczby (zob. pi) jest podstawowy. Ciąg ten nie ma granicy wymiernej, jest więc rozbieżny w przestrzeni liczb wymiernych.

Zbiór ciągów podstawowych jest zamknięty ze względu na sumy (różnice), iloczyny oraz ilorazy, o ile tylko są one dobrze określone.

Zupełność[edytuj]

W szczególności przestrzeń (z wartością bezwzględną) i przestrzeń (z metryką euklidesową) są zupełne.

Inne postacie[edytuj]

Szeregi[edytuj]

Ponieważ szeregi z definicji są ciągami sum częściowych, można rozważać warunek Cauchy’ego również dla nich.

Niech będzie przestrzenią Banacha, a ciągiem jej elementów. Szereg spełnia warunek Cauchy’ego, jeżeli

.

Szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego. W szczególności powyższa definicja obowiązuje dla . Przyjęcie w powyższym warunku daje definicję granicy ciągu do zera; tak osłabiony warunek Cauchy’ego nie pociąga zbieżności szeregu, lecz mimo wszystko pozostaje on prawdziwy, gdy ciąg jest zbieżny, dlatego nazywa się warunkiem koniecznym zbieżności szeregu (zob. warunek konieczny).

Przestrzenie liniowo-topologiczne[edytuj]

W przestrzeniach liniowo-topologicznych ciąg Cauchy’ego można zdefiniować w naturalny sposób bez uciekania się do pojęcia metryki.

Ciąg punktów przestrzeni liniowo-topologicznej nazywa się ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia zera , istnieje taka liczba naturalna , że dla jest

.

W przestrzeni liniowo-topologicznej spełnione są własności obowiązujące w przestrzeniach metrycznych. Jeżeli topologia przestrzeni jest wyznaczona przez niezmienniczą na przesunięcia metrykę , to ciąg elementów tej przestrzeni jest ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego względem tej metryki.

W szczególności, przestrzeń liniowo-topologiczna jest przestrzenią Frécheta wtedy i tylko wtedy, gdy ma ona przeliczalną bazę lokalną i każdy ciąg Cauchy’ego punktów tej przestrzeni jest zbieżny.

Funkcje mierzalne[edytuj]

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Niech będzie pewną kulą w przestrzeni metrycznej ; z warunku Cauchy’ego dla ciągu wynika istnienie , dla którego dla , a ponieważ jest punktem skupienia to można wybrać , dla którego , skąd dla .

Bibliografia[edytuj]

  • Kołodziej Witold, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 1979.
  • Leja Franciszek, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1976.
  • Maurin Krzysztof, Analiza. Część I. Elementy, PWN, Warszawa 1976.
  • Musielak Helena, Musielak Julian, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 2000.
  • Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001.