Funkcja algebraiczna

Funkcja algebraiczna – funkcja $f$ o wartościach w pewnym pierścieniu, dla której istnieją takie wielomiany $W_{n},W_{n-1},\dots ,W_{1},W_{0}$ nie wszystkie równe tożsamościowo zeru, że spełnione jest równanie:

$W_{n}f^{n}+W_{n-1}f^{n-1}+\ldots +W_{1}f+W_{0}=0.$

Funkcję, która nie jest algebraiczna, nazywa się przestępną.

Do funkcji algebraicznych należą wszystkie funkcje wymierne, w tym wszystkie wielomiany. Funkcję algebraiczną, która nie jest funkcją wymierną, nazywamy funkcją niewymierną. Przykładem funkcji niewymiernej jest $f(x)={\sqrt[{n}]{x}}$ $(n>1).$

Przykłady i zastosowania

• Funkcja $y={\sqrt {x}}$ jest algebraiczna, bo dla każdego $x$ z jej dziedziny $(x\geqslant 0)$ spełnione jest równanie $({\sqrt {x}})^{2}-x=0.$ Odpowiednimi wielomianami są tu $W_{2}=1,$ $W_{1}=0$ oraz $W_{0}=-x.$
• Funkcja $y=e^{x}$ jest przestępna.
• Funkcje trygonometryczne są przestępne.
• Pochodne funkcji cyklometrycznych są funkcjami algebraicznymi, dlatego mogą służyć np. do przybliżania i szukania ekstremów tych pierwszych.
• Pierwiastki z funkcji kwadratowych służą do opisu krzywych stożkowych: elipsy (w tym koła), paraboli i hiperboli, uzupełniając w ten sposób funkcje kwadratowe i homograficzne.
• W szczególnej teorii względności Einsteina (oraz starszej teorii eteru Lorentza) czynnik Lorentza jest algebraiczną funkcją prędkości.
• Logarytmiczny dekrement tłumienia jest algebraiczną funkcją współczynnika tłumienia oraz częstości drgań własnych.

Zobacz też

• liczba algebraiczna

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Algebraic Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-05-31].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Transcendental Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-05-31].
• Algebraic function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-05-31].
• Transcendental function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-05-31].