Zbiór generatorów grupy

Zbiór generatorów grupy – podzbiór, który nie zawiera się w żadnej podgrupie właściwej danej grupy. Równoważnie zbiór generatorów grupy to taki podzbiór grupy, że każdy element grupy można przedstawić jako kombinację (względem operacji grupowej) skończenie wielu elementów tego podzbioru i ich elementów odwrotnych (w notacji addytywnej odpowiada to kombinacji liniowej).

Ogólniej, jeżeli $S$ jest podzbiorem grupy $G$ to podgrupa generowana przez $S$ , oznaczana symbolem $\langle S\rangle$ jest najmniejszą podgrupą grupy $G$ zawierającą każdy element zbioru $S,$ czyli częścią wspólną wszystkich podgrup zawierających elementy $S$ ^[a]. Równoważnie $\langle S\rangle$ to podgrupa tych wszystkich elementów $G,$ które mogą być przedstawione jako skończony iloczyn elementów $S$ i ich odwrotności^[b].

Gdy $G=\langle S\rangle ,$ to mówi się, że $S$ generuje $G.$ Elementy $S$ nazywa się wtedy generatorami grupy $G.$ Jeśli $S$ jest zbiorem pustym, to $\langle S\rangle$ jest grupą trywialną $\{e\}.$

Jeśli $S$ zawiera tylko jeden element $x,$ to zwykle pisze się $\langle x\rangle$ (z tego zapisu korzysta się także dla skończonej liczby generatorów). W tym przypadku $\langle x\rangle$ jest podgrupą cykliczną potęg $x,$ która jest grupą cykliczną; mówi się wtedy, że grupa ta jest generowana przez $x.$ O tym, że $x$ generuje grupę można równoważnie powiedzieć, iż $\langle x\rangle$ jest równe całej grupie $G.$ Dla grup skończonych jest to także równoważne stwierdzeniu, iż $x$ ma rząd równy $|G|.$

Grupy skończenie generowane

W przypadku, gdy zbiór $S\subseteq G$ jest skończony, grupę $G=\langle S\rangle$ nazywa się skończenie generowaną. Gdy grupa skończona jest generowana przez podzbiór $S,$ to każdy element grupy można przedstawić w postaci słowa nad alfabetem $S$ o długości nie większej niż rząd grupy (zob. gramatyka formalna).

Każda grupa skończona jest skończenie generowana, ponieważ $\langle G\rangle =G.$
Liczby całkowite z dodawaniem są przykładem grupy nieskończonej, która jest skończenie generowana tak przez 1, jak i –1. Zbiorami generatorów grupy mogą być jej różne podzbiory; przykładowo, jeżeli $p$ i $q$ są względnie pierwsze, to na mocy tożsamości Bézouta

\langle p,q\rangle =\mathbb {Z} .

Grupa liczb wymiernych z dodawaniem nie mają skończonego zbioru generatorów.

Żadna grupa nieprzeliczalna nie jest skończenie generowana.
Gdy $G$ jest grupą skończenie generowaną oraz $N$ jest jej podgrupą normalną, to grupa ilorazowa $G/N$ jest również skończenie generowana.
Podgrupy grup skończenie generowanych nie muszą być skończenie generowane. Na przykład niech $G$ oznacza grupę wolną o dwóch generatorach, $x$ i $y$ oraz niech $S$ będzie podzbiorem $G$ składającym się ze wszystkich elementów postaci $y^{n}xy^{-n},$ gdzie $n$ jest dowolną liczbą naturalną. Podgrupa $\langle S\rangle \subseteq G$ nie jest skończenie generowana. Podgrupy skończenie generowanych grupy abelowych są skończenie generowana. Można powiedzieć więcej: klasa wszystkich grup skończenie generowanych jest zamknięta ze względu na rozszerzenia. Aby się o tym przekonać, wystarczy wziąć zbiór generatorów (skończenie generowanej) podgrupy normalnej i ilorazu grupy przez nią: wówczas generatory podgrupy normalnej wraz z przeciwobrazami generatorów ilorazu generują grupę.

Grupy wolne

Osobny artykuł: grupa wolna.

Podgrupa Frattiniego

Osobny artykuł: podgrupa Frattiniego.

Element $x$ grupy nazywa się nie-generatorem, jeżeli każdy zbiór $S$ zawierający $x$ dalej generuje $G,$ jeśli usunąć z niego ten element. Jedynym nie-generatorem grupy liczb całkowitych z dodawaniem jest $0.$ Zbiór wszystkich nie-generatorów tworzy podgrupę w $G$ nazywaną podgrupą Frattiniego.

Przykłady

Grupa elementów odwracalnych $\operatorname {U} (\mathbb {Z} _{9})$ to grupa wszystkich liczb całkowitych względnie pierwszych z $9$ względem mnożenia modulo $9,$ tzn. liczb ze zbioru $\{1,2,4,5,7,8\}$ z arytmetyką modulo $9.$ Siódemka nie jest generatorem $\operatorname {U} (\mathbb {Z} _{9}),$ gdyż

\{7^{n}{\pmod {9}}\colon n\in \mathbb {N} \}=\{7,4,1\},

podczas gdy dwójka jest, ponieważ

\{2^{n}{\pmod {9}}\colon n\in \mathbb {N} \}=\{2,4,8,7,5,1\}.

Z drugiej strony, dla $n>2$ grupa symetryczna stopnia $n$ nie jest cykliczna, tzn. nie jest generowana przez żaden pojedynczy element. Mimo to generowana jest przez dwie permutacje $(1\ 2)$ oraz $(1\ 2\ \dots \ n).$ Przykładowo dla $S_{3}$ jest:

{\begin{aligned}e&=(1\ 2)(1\ 2),\\(1\ 2)&=(1\ 2),\\(1\ 3)&=(1\ 2\ 3)(1\ 2),\\(2\ 3)&=(1\ 2)(1\ 2\ 3),\\(1\ 2\ 3)&=(1\ 2\ 3),\\(1\ 3\ 2)&=(1\ 2)(1\ 2\ 3)(1\ 2).\end{aligned}}

Grupy nieskończone również mogą mieć skończone zbiory generatorów. Zbiór generatorów grupy addytywnej liczb całkowitych składa się z jednego elementu, $1.$ Element $2$ nie generuje tej grupy, gdyż brakowałoby w niej liczb nieparzystych. Zbiór dwuelementowy $\{3,5\}$ dla odmiany generuje tę grupę, gdyż $(-5)+3+3=1$ (w istocie każda para liczb względnie pierwszych generuje tę grupę na mocy tożsamości Bézouta).

Zobacz też

Uwagi

↑ Niech $H$ będzie najmniejszą podgrupą zawierającą $S,$ zaś ${\mathcal {S}}$ oznacza zbiór podgrup zawierających $S.$ Wówczas $H=\textstyle \bigcap {\mathcal {S}}.$ Istotnie, $H$ jest podgrupą zawierającą $S,$ czyli $H\in {\mathcal {S}},$ a więc $\textstyle \bigcap {\mathcal {S}}\subseteq H;$ z drugiej strony część wspólna rodziny podgrup jest podgrupą, czyli $\textstyle \bigcap {\mathcal {S}}$ jest podgrupą zawierającą $S,$ a skoro $H$ jest najmniejszą podgrupą zawierającą $S,$ to $H\subseteq \textstyle \bigcap {\mathcal {S}}.$
↑ Niech $H$ będzie najmniejszą podgrupą zawierającą $S.$ Jako podgrupa $H$ musi zawierać (wprost z definicji) wraz z każdym $s\in S$ także $s^{-1}\in S,$ a ponadto wszystkie skończone iloczyny elementów $S$ (i należące do tego zbioru odwrotności). Z drugiej strony, na mocy kryterium bycia podgrupą, skończone iloczyny elementów $S$ i ich odwrotności są podgrupą w $G,$ gdyż (a) dla $x,y$ będącymi takimi iloczynami wynika, że ich iloczyn $xy$ również jest tej postaci, (b) dla $x=s_{1}s_{2}\dots s_{n}$ będącego skończonym iloczynem elementów $S$ i ich odwrotności element $x^{-1}=(s_{1}s_{2}\dots s_{n})^{-1}=s_{n}^{-1}s_{n-1}^{-1}\dots s_{1}^{-1}$ jest także skończonym iloczynem elementów $S$ i ich odwrotności.