Działanie algebraiczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Działanie wewnętrzne)
Skocz do: nawigacja, szukaj

Działanie lub operacja – w matematyce i logice przyporządkowanie jednemu lub większej liczbie elementów nazywanych argumentami lub operandami elementu nazywanego wynikiem. Badaniem działań w ogólności zajmuje się dział nazywany algebrą uniwersalną, zbiory z choć jednym określonym na nim działaniem algebraicznym nazywa się algebrami ogólnymi (często krótko: algebrami), samą rodzinę działań określa się nazwą „sygnatura”.

Najczęściej mówi się o działaniach jedno- i dwuargumentowych, choć mogą one mieć ich więcej lub mniej (zero, mówi się wtedy o działaniach zeroargumentowych wskazujących elementy wyróżnione). Działania jednoargumentowe (unarne) dają wynik na podstawie tylko jednej wartości, czego przykładem są np. negacja, czy funkcje trygonometryczne. Często argumentami i wynikami działań są wartości liczbowe. Działania dwuargumentowe (binarne) na liczbach przyjmują dwie wartości dając trzecią, wśród przykładów można wymienić dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, czy potęgowanie.

Działania nie muszą dotyczyć tylko liczb, a dowolnych obiektów matematycznych, np. wektor może być pomnożony przez skalar, aby dać inny wektor; działanie iloczynu skalarnego dwóch wektorów daje skalar. Działania logiczne takie jak koniunkcja („i”), alternatywa („lub”), czy negacja („nie”) łączą ze sobą wartości logiczne prawdy i fałszu. Dodaje się i odejmuje wektory. Za pomocą działania składania funkcji łączy się ze sobą obroty, jeden po drugim. Działania na zbiorach obejmują działania dwuargumentowe sumy i iloczynu zbiorów oraz jednoargumentowe dopełnienie. Wśród działań na funkcjach można wymienić złożenie, czy splot.

Ponadto działania mogą przejawiać, lub nie, określone własności, np. łączność, alternatywność, przemienność, antyprzemienność, idempotentność itp.

Działanie jest podobne do operatora; różni je punkt widzenia: często mówi się o „działaniu dodawania”, gdy chce się położyć nacisk na argumenty i wynik, lecz mówiąc „operator dodawania” bardziej skupia się na samym procesie lub, z bardziej abstrakcyjnego punktu widzenia, na funkcji \scriptstyle +\colon X \times X \to X.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Działanie \scriptstyle \omega to funkcja postaci

X_1 \times \dots \times X_n \to Y.

Zbiory \scriptstyle X_i nazywa się dziedzinami działania, zbiór \scriptstyle Y nosi nazwę przeciwdziedziny działania, z kolei ustaloną liczbę \scriptstyle n (liczba argumentów) nazywa się typem, arnością lub argumentowością działania. W ten sposób działanie jednoargumentowe (unarne) ma argumentowość/arność równą \scriptstyle 1, a działanie dwuargumentowe (binarne) ma argumentowość/arność \scriptstyle 2. Działanie zeroargumentowe jest po prostu elementem przeciwdziedziny \scriptstyle Y. Działanie o arności \scriptstyle n nazywa się działaniem \scriptstyle n-arnym lub \scriptstyle n-argumentowym. W ten sposób działanie \scriptstyle n-argumentowe jest \scriptstyle (n+1)-argumentową relacją, która jest funkcyjna na swoich pierwszych \scriptstyle n dziedzinach.

Powyższa definicja obejmuje tzw. działania skończone, co odnosi się do skończonej liczby argumentów. Istnieją rozszerzenia, w których argumentowość jest nieskończoną liczbą porządkową lub kardynalną, a nawet dowolnym zbiorem indeksującym argumenty.

Stosując termin „działanie” zwykle zakłada się, że dziedzina funkcji jest potęgą przeciwdziedziny (tzn. iloczynem kartezjańskim jednej lub więcej egzemplarzy przeciwdziedziny)[1], tego rodzaju funkcje nazywa się działaniami wewnętrznymi; mówi się też wtedy, że dany zbiór jest zamknięty ze względu na to działanie. Dla podkreślenia tego faktu działania niebędące wewnętrznymi nazywa się zewnętrznymi (zob. Przykłady).

W najogólniejszym podanym tu sensie „działanie” jest więc synonimem funkcji, przekształcenia, czy odwzorowania, tj. relacji, która z każdym elementem dziedziny wiąże dokładnie jeden element przeciwdziedziny.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

W dowolnej strukturze algebraicznej element neutralny działania (o ile istnieje) jest działaniem zeroargumentowym, np. zero względem dodawania dla liczb naturalnych (monoid), całkowitych (pierścień), wymiernych, rzeczywistych, zespolonych (ciała), czy też jedynka dla dodatnich liczb naturalnych (półgrupa), liczb całkowitych (pierścień z jedynką), wymiernych, rzeczywistych, zespolonych (ciała), w kwaternionach (pierścień z dzieleniem); podobnie wektor zerowy w przypadku przestrzeni liniowych, czy algebr liniowych itp.

Na podobnej zasadzie element odwrotny względem działania dwuargumentowego w dowolnej strukturze algebraicznej (o ile istnieje) jest działaniem jednoargumentowym, np. w dowolnej grupie (w tym dodawania w pierścieniach, ciałach, przestrzeniach liniowych czy mnożenia w ciałach; zob. grupa addytywna, grupa multyplikatywna). Za działania jednoargumentowe można uważać funkcje ustalonego zbioru w siebie, np. silnię, funkcje trygonometryczne, funkcję wykładniczą (o ustalonej podstawie), potęgowanie (przy ustalonym wykładniku) i pierwiastkowanie (ustalonego stopnia).

Działania dwuargumentowe są zasadniczym przedmiotem badań algebry uniwersalnej; strukturę złożoną ze zbioru i działania dwuargumentowego na nim określonego nazywa się grupoidem. Nałożenie dodatkowych warunków na działanie daje inne struktury, np. półgrupa to grupoid z działaniem łącznym[2]; półgrupa z działaniem zeroargumentowym (element neutralny) to monoid, z kolei monoid z działaniem jednoargumentowym odwracania elementu nazywa się grupą. Podsumowując grupa to zbiór z trzema działaniami: dwu-, jedno- i zeroargumentowym (grupowe, odwracanie i element neutralny); można ją także określić jako zbiór z jednym działaniem dwuargumentowym (odwrotność powyższego działania grupowego, w notacji multiplikatywnej nazywane jest „dzieleniem”, a w addytywnej – „odejmowaniem”)[3]; grupę można również scharakteryzować jako zbiór z rodziną działań jednoargumentowych: mnożeń lewostronnych każdego elementu przez dowolny inny.

Bada się również zbiory z dwoma działaniami, zwykle związanymi ze sobą warunkiem rozdzielności, np. pierścień to zbiór z dwoma działaniami dwuargumentowymi (łączne i przemienne dodawanie oraz łączne mnożenie – rozdzielne względem siebie), jednym jednoargumentowym (branie elementu przeciwnego) oraz jednym zeroargumentowym (zero – element neutralny dodawania)[4]. Dodając działanie zeroargumentowe w postaci elementu neutralnego mnożenia (jedynka) otrzymuje się pierścień z jedynką, z kolei żądając od mnożenia by było przemienne uzyskuje się pierścień przemienny. Pierścień z jedynką, w którym określono działanie jednoargumentowe odwracania elementu nazywa się pierścieniem z dzieleniem, jeżeli mnożenie jest dodatkowo przemienne, to taki pierścień nazywa się ciałem. Innymi słowy zbiór ze strukturą grupy przemiennej i ten sam zbiór bez wyróżnionego elementu (mianowicie zera) ze strukturą półgrupy, których działania są względem siebie rozdzielne tworzy pierścień; zastąpienie półgrupy monoidem, grupą albo grupą przemienną daje odpowiednio pierścień z jedynką, pierścień z dzieleniem oraz ciało.

Przykładem działania trójargumentowego jest iloczyn mieszany określony na trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej (unitarnej) w tę przestrzeń[5], w której określone są również dwa inne działania dwuargumentowe służące zdefiniowaniu iloczynu mieszanego: iloczyn skalarny (przemienny, w dowolnym wymiarze) oraz iloczyn wektorowy (antyprzemienny, tylko w trzecim wymiarze[6]). Wszystkie powyższe działania były działaniami wewnętrznymi. Przykładami działań zewnętrznych są w ogólności funkcje zbioru w inny (działania jednoargumentowe), mnożenie przez skalar w algebrach liniowych, przestrzeniach liniowych, czy modułach (grupy przemienne ze wspomnianym działaniem, rozdzielnym względem działania grupowego), czy ogólniej: działanie grupy na zbiorze.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Zobacz hasło działanie w Wikisłowniku
Zobacz hasło operacja w Wikisłowniku

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • A. G. Kurosz: Obszczaja algebra: lekcii 1969-1970 uczebnogo goda. Wyd. 1. Moskwa: Nauka, 1974, s. 11. (ros.)

Przypisy

  1. zob. np. rozdz. II, def. 1.1 w: S. N. Burris i H. P. Sankappanavar, A Course in Universal Algebra, Springer, 1981. [1]
  2. Kurosz, 1974 (ss. 20-25).
  3. Kurosz, 1974 (ss. 17-19).
  4. Kurosz, 1974, s. 56
  5. Aleksiej Pogoriełow: Geometria. Moskwa: Nauka, 1983, s. 72-73. (ros.)
  6. Istnieje bezpośrednie uogólnienie na przestrzeń siedmiowymiarową (tzw. uogólniony iloczyn wektorowy) i nieco ogólniejsze na przestrzenie dowolnego wymiaru (tzw. iloczyn zewnętrzny).