Funkcje hiperboliczne odwrotne
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Mplwp_arsinh_arcosh_artanh.svg/220px-Mplwp_arsinh_arcosh_artanh.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Mplwp_arcoth_arsech_arcsch.svg/220px-Mplwp_arcoth_arsech_arcsch.svg.png)
Funkcje hiperboliczne odwrotne, funkcje polowe, funkcje area[1], areafunkcje[2][3] – funkcje odwrotne do hiperbolicznych[2], definiowane też poniższymi wzorami:
Nazwa | Symbole[a] | Wzory | Funkcja odwrotna i przypis |
---|---|---|---|
area sinus
hiperboliczny |
sinus hiperboliczny[4][5] | ||
area cosinus
hiperboliczny |
cosinus hiperboliczny[6][5] | ||
area tangens
hiperboliczny |
tangens hiperboliczny[7][5] | ||
area cotangens
hiperboliczny |
cotangens hiperboliczny[8][5] | ||
area secans
hiperboliczny |
secans hiperboliczny[5] | ||
area cosecans
hiperboliczny |
cosecans hiperboliczny[5] |
Funkcje polowe czerpią nazwę stąd, że można nimi obliczać pola odpowiednich wycinków hiperboli jednostkowej [9]. Analogicznie funkcje kołowe (cyklometryczne, odwrotne do trygonometrycznych) są równe polom wycinków koła jednostkowego Funkcje polowe znajdują też zastosowanie poza geometrią i matematyką czystą, np. w fizyce i elektrotechnice; przykładowo cosinus polowy pojawia się w jednym ze wzorów na pojemność elektryczną[9].
Opis poszczególnych funkcji polowych
[edytuj | edytuj kod]Area sinus
[edytuj | edytuj kod]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Inverse_Hyperbolic_Sine.svg/220px-Inverse_Hyperbolic_Sine.svg.png)
Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych Funkcja ta:
- jest nieparzysta;
- w punkcie ma punkt przegięcia;
- jest rosnąca na całej dziedzinie;
- nie ma asymptot.
Area cosinus
[edytuj | edytuj kod]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Inverse_Hyperbolic_Cosine.svg/220px-Inverse_Hyperbolic_Cosine.svg.png)
Cosinus hiperboliczny jako funkcja parzysta nie jest odwracalny w sensie złożenia. Przez to rozróżnia się dwie gałęzie area cosinusa[6]:
Jeśli są traktowane jako funkcje rzeczywiste, to ich dziedziną jest przedział Funkcją odwrotną dla pierwszej gałęzi area cosinusa hiperbolicznego jest cosinus hiperboliczny dla argumentów większych od zera; dla drugiej gałęzi cosinus hiperboliczny dla argumentów mniejszych od zera.
Area tangens
[edytuj | edytuj kod]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/83/Inverse_Hyperbolic_Tangent.svg/220px-Inverse_Hyperbolic_Tangent.svg.png)
Dziedziną tej funkcji jest przedział otwarty Funkcja ta:
- jest nieparzysta;
- jest rosnąca;
- ma dwie asymptoty i obie są pionowe:
Area cotangens
[edytuj | edytuj kod]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7b/Inverse_Hyperbolic_Cotangent.svg/220px-Inverse_Hyperbolic_Cotangent.svg.png)
Dziedziną tej funkcji jest suma dwóch przedziałów otwartych: Funkcja ta:
Area secans
[edytuj | edytuj kod]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Inverse_Hyperbolic_Secant.svg/220px-Inverse_Hyperbolic_Secant.svg.png)
Dziedziną tej funkcji jest przedział Funkcja ma asymptotę o równaniu
Area cosecans
[edytuj | edytuj kod]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/49/Inverse_Hyperbolic_Cosecant.svg/220px-Inverse_Hyperbolic_Cosecant.svg.png)
Dziedziną tej funkcji jest Funkcja ma dwie asymptoty: i
Funkcja polowa |
Funkcja pochodna |
Przypisy |
---|---|---|
[10][11] | ||
[10][11] | ||
[10] | ||
[10][11] | ||
[11] | ||
[12] | ||
[13] |
Związki z innymi funkcjami
[edytuj | edytuj kod]Całki funkcji algebraicznych
[edytuj | edytuj kod]
Wzór Eulera pozwala powiązać funkcje polowe z kołowymi (cyklometrycznymi) za pomocą jednostki urojonej [10][14]:
Uwagi
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Używa się też oznaczeń ze spacją po skrócie np. w Encyklopedii PWN cytowanej dalej.
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Krysicki i Włodarski 1994 ↓, s. 78.
- ↑ a b areafunkcje, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02] .
- ↑ Żakowski 1972 ↓, s. 84.
- ↑ ar sinh, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02] .
- ↑ a b c d e f Eric W. Weisstein , Inverse Hyperbolic Functions, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-04-14].
- ↑ a b ar cosh, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02] .
- ↑ ar tgh, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02] .
- ↑ ar ctgh, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02] .
- ↑ a b Żakowski 1972 ↓, s. 85.
- ↑ a b c d e
Inverse hyperbolic functions (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-13].
- ↑ a b c d Krysicki i Włodarski 1994 ↓, s. 96.
- ↑ Eric W. Weisstein , Inverse Hyperbolic Secant, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-04-14].
- ↑ Eric W. Weisstein , Inverse Hyperbolic Cosecant, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-04-14].
- ↑ Ryżyk i Gradsztejn 1964 ↓, s. 55.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach. Wyd. XXI. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1994. ISBN 83-01-01460-1.
- I.M. Ryżyk, I.S. Gradsztejn: Tablice całek, sum, szeregów i iloczynów. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1964.
- Wojciech Żakowski: funkcje odwrotne do hiperbolicznych, [w:] Mały słownik matematyczny. Warszawa: Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”, 1972.