Liczby rzeczywiste

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Rzeczywiste)
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zbiór liczb rzeczywistych – rozszerzenie zbioru liczb wymiernych (jako przestrzeni metrycznej) do przestrzeni zupełnej; równoważnie - rozszerzenie zbioru liczb wymiernych (z topologią przedziałową) do przestrzeni spójnej. Zbiór liczb rzeczywistych jest więc ciałem uporządkowanym spełniającym aksjomat ciągłości. Liczby rzeczywiste, które nie są wymierne, nazywane są liczbami niewymiernymi.

Zbiór liczb rzeczywistych oznaczany jest symbolem lub .

Pitagorejczycy zauważyli, że przekątna kwadratu i jego bok są niewspółmierne, tj. nie istnieje odcinek, dla którego przekątna i bok byłyby naturalnymi wielokrotnościami. W dzisiejszym języku oznaczało to, że żadna liczba wymierna nie jest stosunkiem długości przekątnej kwadratu i jego boku (zob. dowód niewymierności pierwiastka z 2). Była to pierwsza wykryta niewymierność, pierwszą znaną klasyfikację niewymierności przeprowadził Teajtet.

Znana od czasów starożytnych liczba pi, którą definiuje się jako stosunek długości dowolnego okręgu do jego średnicy, także okazała się być liczbą niewymierną - odwodnił to w roku 1767 Lambert.

Oś liczbowa - interpretacja geometryczna zbioru liczb rzeczywistych

.

Każdy wykryta niewymierność oznaczała tzw. lukę w zbiorze liczb wymiernych. Konstrukcja liczb rzeczywistych jest wypełnieniem wszystkich możliwych luk. Za pierwszą udaną konstrukcję liczb rzeczywistych uważa się teorię proporcji Eudoksosa opisaną w Elementach Euklidesa.

Z punktu widzenia algebry ciało liczb rzeczywistych jest rozszerzeniem ciała liczb wymiernych.

Podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych są np. liczby wymierne, niewymierne, przestępne, całkowite, naturalne, ujemne, pierwiastki liczb dodatnich, itd.

Modelem geometrycznym zbioru liczb rzeczywistych jest tzw. prosta rzeczywista czyli oś liczbowa.

Zbiór liczb rzeczywistych można z kolei rozszerzyć do zbioru liczb zespolonych.

Definicje i konstrukcje[edytuj]

 Osobny artykuł: Aksjomaty i konstrukcje liczb.

Liczby rzeczywiste ℝ można zdefiniować akjomatycznie.

Jest to struktura algebraiczna spełniającą następujące aksjomaty:

  1. jest ciałem,
  2. jest porządkiem liniowym spełniającym dodatkowo warunki:
    • jeśli xy, to x + zy + z;
    • jeśli x ≥ 0 i y ≥ 0, to xy ≥ 0.
  3. spełniony jest aksjomat ciągłości: każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór ma kres górny.

Ponieważ aksjomatyka nie gwarantuje istnienia obiektu spełniającego te aksjomaty, przeprowadza się konstrukcje liczb rzeczywistych biorące za punkt wyjścia liczby wymierne.

Istnieją trzy klasyczne sposoby konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych:

Niektóre własności[edytuj]

Własności topologiczne[edytuj]

Naturalną metryką w zbiorze liczb rzeczywistych jest tzw. metryka euklidesowa, czyli wartość bezwzględna różnicy dwóch liczb. Prosta rzeczywista wyposażona w tę metrykę jest zupełną przestrzenią metryczną. Ponadto jest ona przestrzenią ośrodkową (ośrodkiem jest np. zbiór liczb wymiernych).

Rodzinę zbiorów otwartych (topologię) na prostej można określić definiując zbiory otwarte:

Zbiór jest otwarty

czyli zbiór jest otwarty, gdy wraz z każdym jego punktem zawiera pewien przedział otwarty zawierający ten punkt.

Bazą tej topologii jest np. rodzina przedziałów otwartych o końcach wymiernych. Wynika stąd, że liczby rzeczywiste spełniają drugi aksjomat przeliczalności. Przestrzeń rzeczywista jest ponadto spójna i lokalnie zwarta.

Ważnymi niestandardowymi topologiami określonymi na zbiorze liczb rzeczywistych są tzw. prosta Sorgenfreya i prosta Michaela.

Własności teoriomnogościowe[edytuj]

Reprezentacja w urządzeniach cyfrowych[edytuj]

Przybliżoną, komputerową reprezentacją liczby rzeczywistej jest liczba zmiennoprzecinkowa i typ zmiennoprzecinkowy.

Zobacz też[edytuj]