Znak liczby

Znak liczby – relacja liczby rzeczywistej względem liczby 0. Liczba może mieć jeden z trzech znaków:

dodatni (liczba większa od 0),
zerowy,
ujemny (liczba mniejsza od 0).

Liczbę rzeczywistą o dodatnim znaku nazywa się liczbą dodatnią, o ujemnym znaku liczbą ujemną. Liczbę rzeczywistą niebędącą ujemną (większą lub równą 0) nazywa się nieujemną, a liczbę niebędącą dodatnią (mniejszą lub równą 0) nazywa się niedodatnią.

Znak liczby zaznacza się przed daną liczbą jako + albo −, np. −124,5.
Znak + często jest pomijany w zapisie.

Pewną formalizacją znaku liczby rzeczywistej jest funkcja signum.

Ciało uporządkowane

Pojęcie znaku można zdefiniować w każdym ciele uporządkowanym $(\mathbb {K} ,+,\cdot ,0,1,\leqslant ),$ tzn. takim ciele $(\mathbb {K} ,+,\cdot ,0,1),$ w którym jest określona relacja $\leqslant$ będąca porządkiem liniowym zgodnym z operacjami algebraicznymi:

jeśli $a\leqslant b,$ to $a+c\leqslant b+c,$
jeśli $0\leqslant a$ i $0\leqslant b,$ to $0\leqslant a\cdot b.$

Innym sposobem definiowania porządku w ciele jest wskazanie zbioru (stożka) elementów dodatnich, tj. największego podzbioru niezerowych elementów, który jest zamknięty na dodawanie i mnożenie w ciele.

Przez analogię do liczb rzeczywistych, w ciałach uporządkowanych $(K,+,\cdot ,0,1,\leqslant )$ elementy $a\in K,$ dla których $a>0$ nazywamy elementami dodatnimi.

Liczby zespolone

Niemożność określenia znaku liczby zespolonej o niezerowej części urojonej (na przykład liczby $5+4i$ ) wynika z tego, że nie istnieje żaden porządek liniowy $\leqslant ^{*}$ w $\mathbb {C} ,$ który zgadzałby się ze strukturą algebraiczną ciała liczb zespolonych. Inaczej mówiąc, ciało liczb zespolonych nie jest ciałem uporządkowanym. Istotnie, w ciele uporządkowanym kwadrat każdego elementu jest nieujemny, tymczasem $i^{2}=-1<0$ (gdzie $i$ jest jednostką urojoną).

Dla każdej niezerowej liczby zespolonej można jednak określić funkcję signum.

Zobacz też