Przejdź do zawartości

Liczby całkowite

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Oś liczbowa ukazująca niektóre liczby całkowite
Standardowy symbol zbioru liczb całkowitych

Liczby całkowitezbiór obejmujący:

  • liczby naturalne z zerem ;
  • liczby przeciwne do nich: [1].

Jest to uogólnienie liczb naturalnych umożliwiające odjęcie każdej liczby od innej.

Zbiór liczb całkowitych oznacza się symbolem [1], od niemieckiego Zahl – liczba[potrzebny przypis]. W Polsce Ministerstwo Edukacji Narodowej zaleciło używanie tego oznaczenia[2], choć w większości szkół podstawowych i średnich stosowano symbol inicjał nazwy polskiej[potrzebny przypis].

Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne.

Definicja formalna

[edytuj | edytuj kod]

Zbiór liczb całkowitych można zdefiniować jako zbiór klas abstrakcji zbioru relacji równoważności

Intuicyjnie reprezentuje różnicę

Niech oznacza klasę abstrakcji, której reprezentantem jest Wówczas dodawanie i mnożenie w zbiorze definiuje się jako:

Liczby dla których nazywamy liczbami całkowitymi dodatnimi;
liczby dla których nazywamy liczbami całkowitymi ujemnymi.

Własności

[edytuj | edytuj kod]

Algebraiczne

[edytuj | edytuj kod]

Tak zdefiniowana struktura jest pierścieniem całkowitym, tj. pierścieniem przemiennym z jedynką bez dzielników zera[potrzebny przypis].

Zerem tego pierścienia jest elementem przeciwnym do jest element Jedynką jest

Podzbiór elementów postaci jest izomorficzny z

Ponieważ oraz elementem przeciwnym do więc

Ostatnia zależność potwierdza wyżej wspomnianą intuicję.

Liczność

[edytuj | edytuj kod]

Zbiór liczb całkowitych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych gdyż istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna przypisująca każdej liczbie całkowitej dokładnie jedną liczbę naturalną. Np.:

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]
  • Eric W. Weisstein, Integer, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-02-02].
  • publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Integer (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].